怎么求3x3矩陣的逆矩陣

先求行列式的值，再寫出伴隨矩陣，最后用行列式的值的倒數(shù)去乘伴隨矩陣。 或者矩陣右邊加上三階單位矩陣，任何作初等變換，使左邊變成三階單位矩陣，然后右邊就是要求的逆矩陣了。 說的有點(diǎn)亂- -，書上應(yīng)該很詳細(xì)的吧

本文我們將從以下幾個(gè)部分來詳細(xì)介紹如何求3X3矩陣的逆矩陣：傳統(tǒng)的計(jì)算方法、楔積法（使用格拉斯曼代數(shù)）、參考

手工計(jì)算一個(gè)3x3矩陣的逆矩陣是一項(xiàng)繁瑣的工作，但它非常有用，比如求解各種矩陣方程。第一部分：傳統(tǒng)的計(jì)算方法

運(yùn)用初等行變換換成E矩陣，然后有耐心地一步一步進(jìn)行初等行變換，步驟寫得很詳細(xì)可以看一下。

第1步：求出 det(M) ,也就是矩陣M的行列式的值。

矩陣?yán)餂]有較多成塊的零元素 是不能用分塊矩陣來求的 而且這里元素不多 3*3矩陣直接A，E 1 2 -1 1 0 0 3 4 -2 0 1 0 5 -4 1 0 0 1 r2-3r1，r3-5r1 ~ 1 2 -1 1 0 0 0 -2 1 -3 1 0 0 -14 6 -5 0 1 r1+r2，r3-7r2 ~ 1 0 0 -2 1 0 0 -2 1 -3 1 0 0 0

行列式的值通常顯示為逆矩陣的分母值，如果行列式的值為零，說明矩陣不可逆。

左邊矩陣第一行的元素分別與右邊矩陣第一列的元素相乘，求和得到相乘矩陣的第一行的第一個(gè)元素。左邊矩陣第一行的元素分別與右邊矩陣第二列的元素相乘，求和得到相乘矩陣的第一行的第二個(gè)元素。以此類推。 具體方法如下圖： 擴(kuò)展資料：例如： 矩

第2步：求出 MT , 即轉(zhuǎn)置矩陣。

橫向消元有一個(gè)問題就是，如果不是整數(shù)，太麻煩。感覺對(duì)于三階陣，還不如伴隨矩陣法方便。

矩陣的轉(zhuǎn)置體現(xiàn)在沿對(duì)角線作鏡面反轉(zhuǎn)，也就是將元素 (i,j) 與元素 (j,i) 互換。

顯然就是一行一行來計(jì)算 先找到第一列的一個(gè)1 (或者某行除以其第一個(gè)數(shù)) 確定是哪一行 再別的行都減去 那個(gè)是第一個(gè)數(shù)是1的行乘以其自己行的數(shù) 那樣第一列就只剩一個(gè)為1，別的是零 以此推類，對(duì)每一列都這樣處理 最后(A，E)~(E，A^-1)

第3步：求出每個(gè)2X2小矩陣的行列式的值。

和單位矩陣寫在一起然后對(duì)原矩陣初等行變換，等原來矩陣變成單位陣，那么之前的單位矩陣就變成逆了。

第4步：將它們表示為如圖所示的輔助因子矩陣，并將每一項(xiàng)與顯示的符號(hào)相乘。

和單位矩陣寫在一起然后對(duì)原矩陣初等行變換，等原來矩陣變成單位陣，那么之前的單位矩陣就變成逆了。

這樣就得到了伴隨矩陣（有時(shí)也稱為共軛矩陣），用 Adj(M) 表示。

問題在于 (3A)* ≠ 3A* ! 而是 (kA)* = k^(n-1)A*。 即對(duì)于三階矩陣 A， (3A)* = 3^(3-1) A* = 9A* ！

第5步：由前面所求出的伴隨矩陣除以第一步求出的行列式的值，從而得到逆矩陣。

假設(shè)一個(gè)三階矩陣 a = [ [1 0 0]， [0 2 0]， [0 0 3] ] a的逆矩陣為np.linalg.inv(a) 如果求不出來證明沒有逆矩陣

第6步：對(duì)逆矩陣轉(zhuǎn)置，然后列出每個(gè)元素周圍的2x2矩陣。

來個(gè)最基礎(chǔ)的吧？別看下面的，估計(jì)你還沒學(xué)到初等矩陣的行變換以及相關(guān)結(jié)論，最簡(jiǎn)單就變成上或下三角行列式就行，對(duì)吧？首先，把全部不為0的換到第一行（加負(fù)號(hào)），然后把第一列都變?yōu)?（第二行，第三行），然后再利用第二行把第三行的第二列變

檢查三遍行列式的值，如果和原矩陣對(duì)應(yīng)的位置的數(shù)相同，那么你求出的結(jié)果就是原矩陣的逆矩陣。使用這個(gè)方法，不需要擔(dān)心符號(hào)的問題。

【知識(shí)點(diǎn)】 若矩陣A的特征值為λ1，λ2，，λn，那么|A|=λ1·λ2··λn 【解答】 |A|=1×2××n= n！ 設(shè)A的特征值為λ，對(duì)于的特征向量為α。 則 Aα = λα 那么 (A²-A)α = A²α - Aα = λ²α - λα = (λ²-λ)α 所以A²-A的特征值

第二部分：楔積法（使用格拉斯曼代數(shù)）

根據(jù)定理，把原矩陣變換到單位矩陣的 行變換， 正好把單位矩陣變換到逆矩陣。 所以只要把原矩陣和單位矩陣寫在一起，然后進(jìn)行變換，把原矩陣變換到單位矩陣即可。

第1步：用M表示3x3的矩陣，D表示它的逆矩陣。

(A, E) = [ 0 -2 1 1 0 0] [ 3 0 -2 0 1 0] [-2 3 0 0 0 1] 交換 2，3 行，初等行變換為 [ 3 0 -2 0 1 0] [ 0 -2 1 1 0 0] [-2 3 0 0 0 1] 第 3 行加到第 1 行，初等行變換為 [ 1 3 -2 0 1 1] [ 0 -2 1 1 0 0] [-2 3 0 0 0 1] 第 1 行 2 倍加到

用c

_i表示M的列向量，其中i = 0..2。

公式如下： 求元索為具體數(shù)字的矩陣的逆矩陣，常用初等變換法‘如果A可逆，則A’可通過初等變換，化為單位矩陣 I ，即存在初等矩陣使 可以看到當(dāng)A通過初等變換化為單位處陣的同時(shí)，對(duì)單位矩陣I作同樣的初等變換，就化為A的逆矩陣 這就是求逆矩陣的

第2步：計(jì)算D = c

#include #include #include // 獲取矩陣的大小templatestruct matrix_size; templatestruct matrix_size { typedef T type; static size_t const value = N;}; templatebool inv(Array &out, Array const &in_) { typedef typename matrix_size

^ c

₁ ^ c

₂，其中'^'表示楔積。

1,0,0，1,0,0 0,0,1，0,1,0 0,1,0，0,0,1 交換后兩行得 1,0,0，1,0,0 0,1,0，0,0,1 0,0,1，0,1,0 后3列即為逆矩陣， 與原矩陣同。

如果D為零，那說明M沒有逆矩陣。

一般用初等行變換A|E 變換成E|B 此時(shí)B就是A的逆矩陣 此方法，叫Gauss-Jordan法 另一種方法，是用伴隨矩陣，A^(-1)=A*/|A|

否則，M-1的第i行 = (c

可以得到第三行元素為（0,3,3），與第一行相等， 由此可知，行列式A 的秩小于等于2，A為非滿秩方陣。 即IAI=0

_{(i+1) mod 3} ^ c

_{(i + 2) mod 3})) / D，其中i = 0.2

小提示

注意，這個(gè)方法也可以應(yīng)用于含變量或未知量的矩陣中，比如代數(shù)矩陣 M 和它的逆矩陣 M-1 。

將所有步驟都寫下來，因?yàn)橐胄乃?X3矩陣的逆是極其困難的。

有些計(jì)算機(jī)程序也可以計(jì)算出矩陣的逆。最高可以求出30X30的矩陣。

伴隨矩陣是輔助因子矩陣的轉(zhuǎn)置，這就是為什么在第二步中我們要將矩陣轉(zhuǎn)置以求出輔助因子的轉(zhuǎn)置矩陣。

可以通過將 M 與 M-1相乘檢驗(yàn)結(jié)果。你應(yīng)該能夠發(fā)現(xiàn)，M*M-1 = M-1*M = I. I 是單位陣，其對(duì)角線上的元素都為1，其余元素全為0。否則，你可能在某一步出了錯(cuò)。

警告

不是所有的3X3矩陣都存在逆矩陣。如果矩陣的行列式的值為零，它就不存在逆矩陣。 (注意到在公式里我們會(huì)除以 det(M)，除數(shù)為零時(shí)是沒有意義的。)

參考

http://www.math.columbia.edu/~bayer/LinearAlgebra/

http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/

擴(kuò)展閱讀，以下內(nèi)容您可能還感興趣。

怎么求三階矩陣的逆矩陣？

和單位矩陣寫在一起然后對(duì)原矩陣初等行變換，等原來矩陣變成單位陣，那么之前的單位矩陣就變成逆了。

求三階矩陣逆矩陣

如圖

A是三階方陣，3A的逆矩陣為什么不是這樣求的

問題在于 (3A)* ≠ 3A* ! 而是 (kA)* = k^(n-1)A*。

即對(duì)于三階矩陣 A， (3A)* = 3^(3-1) A* = 9A* ！更多追問追答追問沒看懂，能不能推一下3A*不是這個(gè)嗎畫錯(cuò)了是矩陣符號(hào)但是問題還在啊追答有伴隨矩陣的定義，每個(gè)元素都是代數(shù)余子式，即 n-1 階行列式。

則 (kA) 的伴隨矩陣，其元素都是由 kaij 組成的 n-1 階行列式，

每行提取k， 共提取了 n-1 個(gè) k， 即 k^(n-1)， 則有 (kA)* = k^(n-1)A*追問完美的解答😁謝謝你啊

用Python實(shí)現(xiàn)三階矩陣的求逆？

假設(shè)一個(gè)三階矩陣

a = [ [1 0 0]，

[0 2 0]，

[0 0 3] ]

a的逆矩陣為np.linalg.inv(a)

如果求不出來證明沒有逆矩陣

跪求三階矩陣求逆矩陣的簡(jiǎn)便算法或者公式。。。。不要說求代數(shù)余子式啊

來個(gè)最基礎(chǔ)的吧？別看下面的，估計(jì)你還沒學(xué)到初等矩陣的行變換以及相關(guān)結(jié)論，最簡(jiǎn)單就變成上或下三角行列式就行，對(duì)吧？首先，把全部不為0的換到第一行（加負(fù)號(hào)），然后把第一列都變?yōu)?（第二行，第三行），然后再利用第二行把第三行的第二列變?yōu)?，這就成上三角行列式了，這求可以求了，這個(gè)方法對(duì)于有限數(shù)字行列式都是適用的，另外，希望你學(xué)過行列式的相關(guān)性質(zhì)，不然你這個(gè)方法也不懂的，望采納。

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