怎么因式分解二次多項(xiàng)式

3次和4次多項(xiàng)式都可以用待定系數(shù)法。 3次多項(xiàng)式的因式分解方法主要還是先觀察出它的一個(gè)根來(lái),然后判定它含有哪個(gè)一次因子,分解后就變?yōu)槎蔚牧?。分解因式的方法是多樣的，且其方法之間相互聯(lián)系，一道題很可能要同時(shí)運(yùn)用多種方法才可能完成。例

本文我們將從以下幾個(gè)部分來(lái)詳細(xì)介紹如何因式分解二次多項(xiàng)式（二次方程）：試錯(cuò)法、分解法、三重方法、兩個(gè)平方之差、使用二次公式、用計(jì)算器

本文將教你如何因式分解二次多項(xiàng)式。一個(gè)多項(xiàng)式含有一個(gè)變量（x），x有特定的次數(shù)，多項(xiàng)式還有各種其他的變量和常數(shù)。要因式分解一個(gè)二次多項(xiàng)式成多個(gè)多項(xiàng)式因子相乘的形式，你的數(shù)學(xué)水平得達(dá)到代數(shù)I以上，否則不太容易理解本方法的原理。本文中都用到的標(biāo)準(zhǔn)形式的二次多項(xiàng)式：ax2 + bx + c = 0

設(shè)x^3-2x^2+3 =(x+1)(x^2+bx+3) =x^3+bx^+3x+x^2+bx+3 =x^3+(b+1)x^2+(3+b)x+3 所以： b+1=-2 3+b=0, 得到b=-3 即因式分解為：x^3-2x^2+3=(x+1)(x^2-3x+3). 至于多項(xiàng)式的分解，方法很多，有十字交叉、配方、公式法以及上面的計(jì)算方法等，具體選

第1步：寫(xiě)下表達(dá)式。

解一元三次方程，首先要得到一個(gè)解，這個(gè)解可以憑借經(jīng)驗(yàn)或者湊數(shù)得到，然后根據(jù)短除法得到剩下的項(xiàng)。 舉例說(shuō)明解x³-3x²+4=0這題。 具體過(guò)程：我們觀察式子，很容易找到x=-1是方程的一個(gè)解，所以我們就得到一個(gè)項(xiàng)x+1。 剩下的項(xiàng)我們用

以次數(shù)高低排列，如果有最大公因數(shù)則提出來(lái)：6 + 6x2 + 13x，6x2 + 13x + 6

1、如果沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，把x提出來(lái)，就成2次多項(xiàng)式了 2、看能否用公式： X1·X2·X3=-d/a； X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a； X1+X2+X3=-b/a。 3、對(duì)于ax^3+bx^2+cx+d(對(duì)于x因式分解)，先求a,d的因數(shù)，比如p是a的因數(shù)，比如q是d的因數(shù)，把x=q/p帶入原式，如果

第2步：用以下方法之一，得出因式分解的結(jié)果：(2x + 3)(3x + 2)

x^3-5x^2+17x-13 看看x等于什么可以使他等于0 顯然x=1可以 所以有一個(gè)因式是x-1 所以x^3-5x^2+17x-13 =x^3-x^2-4x^2+4x+13x-13 =x^2(x-1)-4x(x-1)+13(x-1) =(x-1)(x^2-4x+13)

第3步：用FOIL（首項(xiàng)相乘、外項(xiàng)相乘、內(nèi)向相乘、次項(xiàng)相乘，這是展開(kāi)多項(xiàng)式相乘的一種步驟方法）分解，并合并同類項(xiàng)：(2x + 3)(3x + 2)，6x2 + 4x + 9x + 6，6x2 + 13x + 6。

十字分解法的方法簡(jiǎn)單來(lái)講就是：十字左邊相乘等于二次項(xiàng)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)。其實(shí)就是運(yùn)用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆運(yùn)算來(lái)進(jìn)行因式分解。 十字分解法能把二次三項(xiàng)式分解因式（不一定在整數(shù)范圍內(nèi)）

第一部分：試錯(cuò)法

如果是整系數(shù)一元三次多項(xiàng)式：ax^3+bx^2+cx+d ， 那么分解成 (px+q)(mx^2+nx+v) ，須滿足： 1、p 必是 a 的約數(shù)； 2、q 必是 d 的約數(shù) 。 也可以把 x = q/p 代入多項(xiàng)式，如果結(jié)果 = 0 ，就說(shuō)明有因式 px-q 。 如分解 2x^3 + 7x^2 + 4x - 3 ， 2

若你的多項(xiàng)式十分簡(jiǎn)單，可以自己來(lái)發(fā)現(xiàn)因數(shù)。注意：用這個(gè)方法，可能不能因式分解更復(fù)雜的三項(xiàng)式了。例子: 3x2 + 2x - 8

提取公因式法； 分組分解法； 十字相乘法----a(x-p)(x-q)=0； 配方法----a(x-m)²+n=0； 公式法：x={-b±√(b²-4ac)}/(2a)

第1步：把a(bǔ)、c的因數(shù)寫(xiě)出來(lái)：a = 3 因數(shù)有:

1、提公因式法 幾個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。 如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。 具體方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是

1 和 3，c = -8 因數(shù): 2 和 4 和 1 和 8

1、提公因式法 幾個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。 如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。 具體方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是

第2步：寫(xiě)兩對(duì)括號(hào)，留點(diǎn)空白：( x )( x )

1、在數(shù)學(xué)中，由若干個(gè)單項(xiàng)式相加組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式（若有減法：減一個(gè)數(shù)等于加上它的相反數(shù)）。多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，這些單項(xiàng)式中的最高項(xiàng)次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。其中多項(xiàng)式中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。 2、把一個(gè)多

第3步：把a(bǔ)可能的一對(duì)因數(shù)寫(xiě)在x前：本例子中只有一對(duì)因數(shù) (3

1. a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) 根據(jù)上面的公式計(jì)算的6a^3+2ab^22 道理一樣 最后是=(a+b)(a^2-ab+b^2-1)3 （x-y）少了個(gè)三次方吧答案是（2x-y）（x^2+y^2-3xy）

x )(1

x )

第4步：在x項(xiàng)后面分別寫(xiě)上成對(duì)的c的因數(shù)，先試試 (3x 8

3次多項(xiàng)式的因式分解方法主要還是先觀察出它的一個(gè)根來(lái),然后判定它含有哪個(gè)一次因子,分解后就變?yōu)槎蔚牧?下面的內(nèi)容系統(tǒng)地介紹了因式分解的方法. 即和差化積，其最后結(jié)果要分解到不能再分為止。而且可以肯定一個(gè)多項(xiàng)式要能分解因式，則結(jié)果唯

)(x 1

)

第5步：決定x項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)的符號(hào)。

⑴提公因式法 ①公因式：各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的～. ②提公因式法：一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫(xiě)成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c

以下是方法：如果ax2 + bx + c 則 (x + h)(x + k)，如果 ax2 - bx - c 或 ax2 + bx - c 則 (x - h)(x + k)。如果 ax2 - bx + c 則 (x - h)(x - k)。本例子中是 3x2 + 2x - 8 ，因此 (x - h)(x + k)是答案的形式，然后試試： (3x + 8)(x - 1)

找零點(diǎn)。 比如x=-1使代數(shù)式等于0， 則x+1一定是它的一個(gè)因式，然后再以這個(gè)罷工為基準(zhǔn)進(jìn)行因式分解。 原式＝x^3+x^2+3x^2+3x+2x+2 =x^2(x+1)+3x(x+1)+2(x+1) =(x+1)(x^2+3x+2) =(x+1)(x+1)(x+2) =(x+1)^2(x+2)

第6步：把兩個(gè)括號(hào)展開(kāi)，如果中間項(xiàng)不對(duì)，則這種化簡(jiǎn)不對(duì)（c的因數(shù)選錯(cuò)了）。

把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)因式分解（也叫作分解因式）。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具。 因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方

(3x + 8)(x - 1)，3x2 - 3x + 8x - 8，3x2 + 5x - 8 ≠ 3x2 + 2x - 8

原式=-a^4+2(b^2+c^2)a^2-(b^2+c^2)^2+4b^2*c^2=4b^2*c^2-(a^2-b^2-c^2)^2=(2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc-b^c-c^2+a^2)=((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)=(b+c-a)(b+c+a)(a-b+c)(a+b-c)

第7步：如果必要，則換掉因數(shù)。

把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范圍（如有理數(shù)范圍內(nèi)分解，即所有項(xiàng)均為有理數(shù)）化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，也叫作分解因式。 原則： 1.結(jié)果最后只留下小括號(hào) 2.結(jié)果的多項(xiàng)式首項(xiàng)為正。 在一個(gè)公式內(nèi)把其公因子抽出，即透過(guò)公式重組，

本例中我們?cè)囋?和4這對(duì)： (3x + 2)(x - 4)

因式分解沒(méi)有普遍的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競(jìng)賽上，又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)法，分組分解法和十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對(duì)稱多項(xiàng)式輪換對(duì)稱多項(xiàng)式法，余式定理法，求根公式法，換元法，長(zhǎng)除法，短除法，

c 現(xiàn)在是-8。

把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范圍(如實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解，即所有項(xiàng)均為實(shí)數(shù))化為幾個(gè)整式的積的形式，這種式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式，和我們小學(xué)里學(xué)的因數(shù)分解很類似。 1、如果多項(xiàng)式的首項(xiàng)為負(fù)，應(yīng)先提取負(fù)號(hào)； 這里的

但是外項(xiàng)和內(nèi)項(xiàng)積分別是-12x 和 2x， 合并不成+2x。

f（x）=-2x^2+ax+a^2 可化為：f(x)=(a-x)(2x+a) 可以用因式分解： 公式：（x+c)(x+b)=x^2+(c+b)x+cb (qx+c)(px+b)=qpx^2+(cp+bq)x+cb 上述式子中：-2=qp a=(cp+bq) a^2=cb 就解得：q=2 p=-1 c=a b=a 所以 f（x）=-2x^2+ax+a^2 可化為：f(x)=(a-x

第8步：如果必要的話就調(diào)轉(zhuǎn)順序。

①如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式； ②如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來(lái)分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法來(lái)分解； ④分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止. (6

我們?cè)囋嚢?、4換個(gè)位置。 (3x + 4)(x - 2)

十字相乘法一般用于分解二次三項(xiàng)式。 三次三項(xiàng)式一般用拆項(xiàng)，減項(xiàng)，先提公共的因式,再像 二次那樣因式分解。 因式分解的步驟： 1.提取公因式：這個(gè)是最基本的.就是有公因式就提出來(lái)。（相同取出來(lái)剩下的相加或相減） 2.完全平方：看到式字內(nèi)有兩

c 還是對(duì)的。

判別式大于等于0時(shí)，能用因式分解法來(lái)解。特殊情況下當(dāng)判別式為一完全平方數(shù)時(shí)，可 用十字相乘法解。

外項(xiàng)積和內(nèi)項(xiàng)積是-6x 和 4x， 則這兩個(gè)數(shù)的和同2x正好符號(hào)相反

因式分解拆添項(xiàng)法是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算．在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零。 在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多

第9步：然后再確認(rèn)一下符號(hào)正負(fù)。

把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范圍（如有理數(shù)范圍內(nèi)分解，即所有項(xiàng)均為有理數(shù)）化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，也叫作分解因式。 原則： 1.結(jié)果最后只留下小括號(hào) 2.結(jié)果的多項(xiàng)式首項(xiàng)為正。 在一個(gè)公式內(nèi)把其公因子抽出，即透過(guò)公式重組，

順序是沒(méi)錯(cuò)的，現(xiàn)在把符號(hào)倒過(guò)來(lái)： (3x - 4)(x + 2)

c 還是對(duì)的。

判別式大于等于0時(shí)，能用因式分解法來(lái)解。特殊情況下當(dāng)判別式為一完全平方數(shù)時(shí)，可 用十字相乘法解。

外項(xiàng)積和內(nèi)項(xiàng)積現(xiàn)在6x 和 -4x。 加起來(lái)等于2x ，這次就對(duì)了。

第二部分：分解法

不喜歡猜的方法， 可以試試這個(gè)。

例子: 6x2 + 13x + 6

第1步：把a(bǔ)、c乘起來(lái)，本例中是：6?6 = 36

第2步：找出一對(duì)數(shù)字，乘起來(lái)是36，加起來(lái)又是b（13）：4?9 = 36 4 + 9 = 13

第3步：把兩個(gè)數(shù)字設(shè)為 k 和 h (順序隨意):

ax2 + kx + hx + c，6x2 + 4x + 9x + 6

第4步：整理成組，因式分解。

整理一下方程，使得可以提出最大公因式（(3x+2)），然后合并同類項(xiàng)，得到因式分解結(jié)果。6x2 + 4x + 9x + 6，2x(3x + 2) + 3(3x + 2)，(2x + 3)(3x + 2)

第三部分：三重方法

本方法很像分解法，不過(guò)更簡(jiǎn)單例子: 8x2 + 10x + 2

第1步：將a、c兩項(xiàng)相乘。

8?2 = 16

第2步：找出兩個(gè)數(shù)字，相乘是16，相加又是b(10)。

2?8 = 16 8 + 2 = 10

第3步：將兩個(gè)數(shù)（ h 、 k）代入這個(gè)方程：(ax + h)(ax + k)---------------------- a(8x + 8)(8x + 2)---------------------- 8（如圖）

第4步：看看哪一個(gè)括號(hào)項(xiàng)可以被a整除，并且商是偶數(shù)。

a {本例中為(8x + 8)}。用a除以這個(gè)數(shù)，讓另一項(xiàng)保持原樣(8x + 8)(8x + 2)---------------------- 8，答案:(x + 1)(8x + 2)

第5步：如果兩括號(hào)有最大公因式，提出來(lái)：(x + 1)(8x + 2)，2(x + 1)(4x + 1)

第四部分：兩個(gè)平方之差

第1步：如果需要，則提出最大公因數(shù)。

27x2 - 12，3(9x2 - 4)

第2步：看看方程是否是兩個(gè)平方之差。

一定要有兩項(xiàng)，否則不能平均分解這個(gè)方程。√(9x2) = 3x ， √(4) = 2 （注意這里省去了負(fù)數(shù)根。）

第3步：把“a”、“c”從你的等式中代入下列公式：(√(a) + √(c))(√(a) - √(c))3[(√(9x2) + √(4))(√(9x2) - √(4))]3[(3x + 2)(3x - 2)]

第五部分：使用二次公式

上述方法都不行，則用二次公式例如：x2 + 4x + 1

第1步：將對(duì)應(yīng)量代入本方程：x = -b ± √(b2 - 4ac) --------------------- 2a，x = -4 ± √(42 - 4?1?1) ----------------------- 2?1（如圖）

第2步：解出x。

得到兩個(gè)x，x= -4 ± √(16 - 4) ------------------ 2x = -4 ± √(12) -------------- 2x = -4 ± √(4?3) -------------- 2x = -4 ± 2√(3) -------------- 2x = -2 ± √(3)，x = -2 + √(3) 或 x = -2 - √(3)（如圖）

第3步：把x值(h 、k) 代入方程 (x - h)(x - k)，(x - (-2 + √(3))(x - (-2 - √(3))，(x + 2 + √(3))(x + 2 - √(3))

第六部分：用計(jì)算器

這些步驟適合TI圖形計(jì)算器，在標(biāo)準(zhǔn)考試中尤其好用。

第1步：輸入[Y = ] ：y = x2 ? x ? 2

第2步：按下 [GRAPH]作圖。

第3步：找到和x 軸相交點(diǎn)得到(-1, 0), (2 , 0)，x = -1, x = 2

如果看不到，則按下[2nd] -[TRACE]， 按下 [2] 或選擇“0”。移到交點(diǎn)之左以后按下[ENTER]， 移到交點(diǎn)之右按下[ENTER]， 移到盡量接近和x軸相交的點(diǎn)旁邊，按下 [ENTER]，計(jì)算器就會(huì)自動(dòng)算出該點(diǎn)的橫坐標(biāo)。對(duì)另一個(gè)交點(diǎn)也重復(fù)此步驟。

第4步：把x值(h 和 k)代入本公式： (x - h)(x - k)，(x - (-1))(x - 2)，整理為(x + 1)(x + (-2)) 表示出兩個(gè)交點(diǎn)來(lái)。

利用箱型法（可視解）

本網(wǎng)站有解釋: http://www.purplemath.com/modules/factquad3.htm

視頻說(shuō)明: http://www.youtube.com/watch?v=bq1Iw1w1Bgo

小提示

若用二次公式因式分解了一個(gè)多項(xiàng)式，其中含有根數(shù)，可能需要將x換成分?jǐn)?shù)來(lái)檢查該解是否正確。

如果一個(gè)項(xiàng)沒(méi)有系數(shù)，則系數(shù)是1。x2 = 1x2

如果有 TI-84 計(jì)算器 (可畫(huà)圖) ，則有一個(gè)叫做SOLVER的程序可以解二次方程，這個(gè)程序還可以解任何其他次數(shù)的多項(xiàng)式。

如果一個(gè)項(xiàng)不存在，則它的系數(shù)是0。有時(shí)把0項(xiàng)寫(xiě)出來(lái)會(huì)比較方便，比如x2 + 6 = x2 + 0x + 6

在熟悉試錯(cuò)法前，先把要試的因數(shù)寫(xiě)下來(lái)，熟練了以后再在腦子中運(yùn)算。

警告

如果你在數(shù)學(xué)課中學(xué)到了這個(gè)概念，要注意老師建議用什么方式，就盡量不要用你喜歡的別的方式。因?yàn)槔蠋熆赡軙?huì)讓你在考試中用特定的一種方法來(lái)解，或者不讓你用圖畫(huà)計(jì)算器來(lái)解。

你需要準(zhǔn)備

鉛筆

紙

二次方程，或叫二次多項(xiàng)式

畫(huà)圖計(jì)算器（可選）

擴(kuò)展閱讀，以下內(nèi)容您可能還感興趣。

因式分解有哪幾種？？計(jì)算方法是怎樣的

1、提公因式法

幾個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。 如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

具體方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的。

如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“-”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)。提出“-”號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。

2、公式法

如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種方法叫公式法。

平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²；

注意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫(xiě)成兩個(gè)數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式)的積的2倍。

3、待定系數(shù)法

例如，將ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，ab≠0)因式分解，可令ax2+bx+c=0，再解這個(gè)方程。如果方程無(wú)解，則原式無(wú)法因式分解；如果方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根(設(shè)為m)，則原式可以分解為(x-m)2如果方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(分別設(shè)為m，n)，則原式可以分解為(x-m)(x-n)。

4、十字相乘法（數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)）

十字分解法的方法簡(jiǎn)單來(lái)講就是：十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)系數(shù)。其實(shí)就是運(yùn)用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆運(yùn)算來(lái)進(jìn)行因式分解。

十字分解法能把某些二次三項(xiàng)式分解因式。對(duì)于形如ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)的整式來(lái)說(shuō)，方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a₁,a₂的積a₁·a₂。

把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c₁,c₂的積c₁·c₂，并使a₁c₂+a₂c₁正好等于一次項(xiàng)的系數(shù)b，那么可以直接寫(xiě)成結(jié)果：ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。

擴(kuò)展資料

韋達(dá)首先發(fā)現(xiàn)了因式分解的工具性和重要性，在其《論方程的整理和修改》中，首先給出代數(shù)方程的多項(xiàng)式因式分解方法，并證得所有三次和三次以上的一元多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)皆可因式分解。

1637年笛卡兒（R. Descartes，1596-1650）在其《幾何學(xué)》中，首次應(yīng)用待定系數(shù)法將4次方程分解為兩個(gè)2次方程求解，并最早給出因式分解定理。

笛卡兒還改進(jìn)了韋達(dá)的一些數(shù)學(xué)符號(hào)，首先用x,y,z表示未知數(shù)，用a,b,c表示已知數(shù)，這些數(shù)學(xué)習(xí)慣沿用至今。有些人可能討厭數(shù)學(xué)，就是因其有太多符號(hào)和公式。

沒(méi)有數(shù)學(xué)符號(hào)，乘法公式用語(yǔ)言敘述是多么啰嗦。故數(shù)學(xué)的進(jìn)步在于其引進(jìn)了較好的符號(hào)體系，使用數(shù)學(xué)符號(hào)是近代數(shù)學(xué)發(fā)展最為明顯的標(biāo)志之一。

參考資料來(lái)源：百度百科-因式分解法

什么叫做多項(xiàng)式，什么叫做多項(xiàng)式的因式分解

1、在數(shù)學(xué)中，由若干個(gè)單項(xiàng)式相加組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式（若有減法：減一個(gè)數(shù)等于加上它的相反數(shù)）。多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，這些單項(xiàng)式中的最高項(xiàng)次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。其中多項(xiàng)式中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。

2、把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范圍(如實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解，即所有項(xiàng)均為實(shí)數(shù))化為幾個(gè)整式的積的形式，這種式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

擴(kuò)展資料：

多項(xiàng)式因式分解的原則：

1、分解因式是多項(xiàng)式的恒等變形，要求等式左邊必須是多項(xiàng)式。

2、分解因式的結(jié)果必須是以乘積的形式表示。

3、每個(gè)因式必須是整式，且每個(gè)因式的次數(shù)都必須低于原來(lái)多項(xiàng)式的次數(shù)。

4、結(jié)果最后只留下小括號(hào)，分解因式必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止；

5、結(jié)果的多項(xiàng)式首項(xiàng)一般為正。 在一個(gè)公式內(nèi)把其公因子抽出，即透過(guò)公式重組，然后再抽出公因子；

6、括號(hào)內(nèi)的首項(xiàng)系數(shù)一般為正；

7、如有單項(xiàng)式和多項(xiàng)式相乘，應(yīng)把單項(xiàng)式提到多項(xiàng)式前。如(b+c)a要寫(xiě)成a(b+c)；

8、考試時(shí)在沒(méi)有說(shuō)明化到實(shí)數(shù)時(shí)，一般只化到有理數(shù)就夠了，有說(shuō)明實(shí)數(shù)的話，一般就要化到實(shí)數(shù)。

口訣：首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)，各項(xiàng)有“公”先提“公”，某項(xiàng)提出莫漏1，括號(hào)里面分到“底”。

參考資料來(lái)源：百度百科——因式分解

參考資料來(lái)源：百度百科——多項(xiàng)式

一元二次多項(xiàng)式因式分解，忘了怎么做了。

這不叫一元二次多項(xiàng)式（a+b+a-b)[(a+b)

分解三次因式的方法？

3次多項(xiàng)式的因式分解方法主要還是先觀察出它的一個(gè)根來(lái),然后判定它含有哪個(gè)一次因子,分解后就變?yōu)槎蔚牧?下面的內(nèi)容系統(tǒng)地介紹了因式分解的方法.

即和差化積，其最后結(jié)果要分解到不能再分為止。而且可以肯定一個(gè)多項(xiàng)式要能分解因式，則結(jié)果唯一，因?yàn)椋簲?shù)域F上的次數(shù)大于零的多項(xiàng)式f(x),如果不計(jì)零次因式的差異，那么f(x)可以唯一的分解為以下形式：

f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次項(xiàng)的系數(shù)，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可約多項(xiàng)式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。

（*）或叫做多項(xiàng)式f(x)的典型分解式。證明：可參見(jiàn)《高代》P52-53 初等數(shù)學(xué)中，把多項(xiàng)式的分解叫因式分解，其一般步驟為：一提二套三分組等要求為：要分到不能再分為止。

因式分解的方法與技巧

⑴提公因式法

①公因式：各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的～.

②提公因式法：一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫(xiě)成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

am＋bm＋cm＝m（a+b+c）

③具體方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的. 如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“－”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的.

⑵運(yùn)用公式法

①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)

②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2

※能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式,其中有兩項(xiàng)能寫(xiě)成兩個(gè)數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式)的積的2倍.

③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).

立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2).

④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3

⑤a^n-b^n=(a-b)【a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)】

a^m+b^m=(a+b)【a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)】(m為奇數(shù))

⑶分組分解法

分組分解法：把一個(gè)多項(xiàng)式分組后，再進(jìn)行分解因式的方法.

分組分解法必須有明確目的，即分組后，可以直接提公因式或運(yùn)用公式.

⑷拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法

拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法：把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開(kāi)或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)），使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解；要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則進(jìn)行變形.

⑸十字相乘法

①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解

這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和.因此，可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）

②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解

如果能夠分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 時(shí)，那么

kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）

a \-----/b ac＝k bd＝n

c /-----\d ad＋bc＝m

※ 多項(xiàng)式因式分解的一般步驟：

①如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；

②如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來(lái)分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法來(lái)分解；

④分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止.

(6)應(yīng)用因式定理：如果f（a）=0，則f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，則可確定（x+2）是x^2+5x+6的一個(gè)因式。

經(jīng)典例題：

1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2

解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=【(1+y)+x^2(1-y)】^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=【(1+y)+x^2(1-y)】^2-(2x)^2

=【(1+y)+x^2(1-y)+2x】·【(1+y)+x^2(1-y)-2x】

=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

=【(x+1)^2-y(x^2-1)】【(x-1)^2-y(x^2-1)】

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)

2.證明：對(duì)于任何數(shù)x,y，下式的值都不會(huì)為33

x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5

解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

當(dāng)y=0時(shí)，原式=x^5不等于33；當(dāng)y不等于0時(shí)，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四個(gè)以上不同因數(shù)的積，所以原命題成立

因式分解的十二種方法

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)總結(jié)如下：

1、 提公因法

如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式。

例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考題)

x -2x -x=x(x -2x-1)

2、 應(yīng)用公式法

由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系，如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，那么就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考題)

解：a +4ab+4b =（a+2b）

3、 分組分解法

要把多項(xiàng)式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式a，把它后兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m +5n-mn-5m

解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

= (m -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、 十字相乘法

對(duì)于mx +px+q形式的多項(xiàng)式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項(xiàng)式可因式分解為(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x -19x-6

分析： 1 -3

7 2

2-21=-19

解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)

5、配方法

對(duì)于那些不能利用公式法的多項(xiàng)式，有的可以利用將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40

解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

=(x+ ) -( )

=(x+ + )(x+ - )

=(x+8)(x-5)

6、拆、添項(xiàng)法

可以把多項(xiàng)式拆成若干部分，再用進(jìn)行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

7、 換元法

有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來(lái)。

例7、分解因式2x -x -6x -x+2

解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

=x 【2(x + )-(x+ )-6

令y=x+ , x 【2(x + )-(x+ )-6

= x 【2(y -2)-y-6】

= x (2y -y-10)

=x (y+2)(2y-5)

=x (x+ +2)(2x+ -5)

= (x +2x+1) (2x -5x+2)

=(x+1) (2x-1)(x-2)

8、 求根法

令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,……x ,則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6

解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

通過(guò)綜合除法可知，f(x)=0根為 ，-3，-2，1

則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

9、 圖象法

令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)x ,x ,x ,……x ，則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例9、因式分解x +2x -5x-6

解：令y= x +2x -5x-6

作出其圖象，見(jiàn)右圖，與x軸交點(diǎn)為-3，-1，2

則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10、 主元法

先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。

例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

分析：此題可選定a為主元，將其按次數(shù)從高到低排列

解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)

=(b-c) 【a -a(b+c)+bc】

=(b-c)(a-b)(a-c)

11、 利用特殊值法

將2或10代入x，求出數(shù)P，將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫(xiě)成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。

例11、分解因式x +9x +23x+15

解：令x=2，則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3×5×7

注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時(shí)的值

則x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

12、待定系數(shù)法

首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。

例12、分解因式x -x -5x -6x-4

分析：易知這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個(gè)二次因式。

解：設(shè)x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

所以 解得

則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

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