怎么解微分方程

微分方程指描述未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程。 微分方程的解是一個(gè)符合方程的函數(shù)。 比如： y'=x 就是一個(gè)微分方程 解法: dy/dx=x dy=xdx dy=1/2 dx^2 則 y=1/2 x^2+C

本文我們將從以下幾個(gè)部分來(lái)詳細(xì)介紹如何解微分方程：基本方法、解一階微分方程、解二階微分方程、解高次微分方程

學(xué)了兩三學(xué)期的微積分以后就要利用導(dǎo)數(shù)來(lái)完整地練習(xí)解微分方程了。導(dǎo)數(shù)是一種數(shù)據(jù)相對(duì)于另一種的變化速率。例如，速度隨著時(shí)間的變化率就是速度關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)（和斜率相比較一下）。每天這種變化率都會(huì)出現(xiàn)很多次，例如，復(fù)利定律中，利息增加的速度和賬戶金額成比例，用dV(t)/dt=rV(t) 和 V(0)=P 可以表示出來(lái)（P就是初始金額），V(t)是時(shí)間的函數(shù)，表示目前的賬戶金額數(shù)（用以不斷評(píng)估利息），r是目前利率（dt是極短的時(shí)間間隔，dV(t)是無(wú)窮小金額，是V(t)在這個(gè)時(shí)間的變化，他們的商是增加速率）。雖然信用卡利息通常是每日累積計(jì)算，以APR（年度增加率）來(lái)表示，這個(gè)微分方程還是可以可以解出一個(gè)方程，得到連續(xù)解V(t)= Pe ^(rt)。本文將教你如何解決最常見類型的微分方程，尤其是力學(xué)和物理方程。第一部分：基本方法

∵齊次方程y''-5y'+6y=0的特征方程是r²-5r+6=0，則r1=2，r2=3 ∴齊次方程y''-5y'+6y=0的通解是y=C1e^(2x)+C2e^(3x) (C1,C2是積分常數(shù)) ∵設(shè)原方程的解為y=(Ax²+Bx)e^(2x) 代入原方程 ==>A=-1/2,B=-1 ∴原方程的一個(gè)解是y=-(x²/2+x)e^

第1步：定義導(dǎo)數(shù)。

解答 微分方程y''-3y'+2y=xex對(duì)應(yīng)的齊次微分方程為y''-3y'+2y=0 特征方程為t2-3t+2=0 解得t1=1，t2=2 故齊次微分方程對(duì)應(yīng)的通解y＝C1ex+C2e2x 因此，微分方程y''-3y'+2y=xex對(duì)應(yīng)的非齊次微分方程的特解可設(shè)為y*=x（ax+b）ex=（ax2+bx）ex y*'=[a

當(dāng)變量?jī)A向于0的時(shí)候，函數(shù)（一般是y）增量和變量（一般是x）增量的比值會(huì)取得一個(gè)極限值，這就是導(dǎo)數(shù)（也稱為微分系數(shù)，特別在英國(guó)）?；蛘哒f(shuō)在一瞬間，變量的微小變化造成的函數(shù)的微小變化。以速度距離，速度就是距離對(duì)時(shí)間的瞬時(shí)變化。下面比較一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù):

標(biāo)準(zhǔn)形式 y″+py′+qy=0 特征方程 r^2+pr+q=0 通解 1.兩個(gè)不相等的實(shí)根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x) 2.兩根相等的實(shí)根：y=(C1+C2x)e^(r1x) 3.共軛復(fù)根r=α+iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx) 標(biāo)準(zhǔn)形式 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) 解法 通解=非齊次方程特解+齊

一階導(dǎo)數(shù)即原導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。例如:“速度是距離關(guān)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)?！?/p>

1、無(wú)阻尼的簡(jiǎn)諧自由運(yùn)動(dòng)的微分方程： mx''+kx=0 (1) 2、初始條件: x(0)=x0 x'(0)=x'0 (2) (1)的特征方程：ms^2+k=0 (3) 解出： s1=(k/m)^0.5 s2=-(k/m)^0.5 (4) 3、(1)的通x(t)=C1e^(s1t)+C2e^(s2t) （5） 根據(jù)（2）-> C1+C2=x0 C1s1+C2s2=x'0

二階導(dǎo)數(shù)即函數(shù)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例:“加速度是距離對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)?！?/p>

通解是指滿足這種形式的函數(shù)都是微分方程的解，例如y'=0的通解就是y=C，C是常數(shù)。通解是一個(gè)函數(shù)族 特解顧名思義就是一個(gè)特殊的解，它是一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)是微分方程的解，但是微分方程可能還有別的解。如y=0就是上面微分方程的特解。 特解在解

第2步：不要混淆階數(shù)（最高導(dǎo)數(shù)階數(shù)）和次數(shù)（導(dǎo)數(shù)的最高次數(shù)）。

通解并不包含所有解。 對(duì)于一個(gè)微分方程而言，其解往往不止一個(gè)，而是有一組，可以表示這一組中所有解或者部分解的統(tǒng)一形式，稱為通解（general solution）。對(duì)一個(gè)微分方程而言，它的解會(huì)包括一些常數(shù)，對(duì)于n階微分方程，它的含有n個(gè)獨(dú)立常數(shù)的

最高導(dǎo)數(shù)次數(shù)是由最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)決定的。導(dǎo)數(shù)的最高次數(shù)則是導(dǎo)數(shù)中的項(xiàng)的最高次數(shù)。比如圖一的微分方程是二階、三次導(dǎo)數(shù)。

將特解代入微分方程得 (7/3)(x+1)^(5/2) + (2/3)(x+1)^(7/2) p(x) = (x+1)^(5/2) 得 p(x) = -2/(x+1), 微分方程是 y' - 2y/(x+1) = (x+1)^(5/2) 通解 y = e^[2dx/(x+1)] {∫(x+1)^(5/2)e^[-2dx/(x+1)]dx + C} = (x+1)^2 [∫(x+1)^(1/2)dx + C] = (

第3步：了解如何區(qū)別通解、完全解和特解。

解答 微分方程y''-3y'+2y=xex對(duì)應(yīng)的齊次微分方程為y''-3y'+2y=0 特征方程為t2-3t+2=0 解得t1=1，t2=2 故齊次微分方程對(duì)應(yīng)的通解y＝C1ex+C2e2x 因此，微分方程y''-3y'+2y=xex對(duì)應(yīng)的非齊次微分方程的特解可設(shè)為y*=x（ax+b）ex=（ax2+bx）ex y*'=[a

完整解包含一些任意常數(shù)，任意常數(shù)的數(shù)目和導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)相等（要解開n階微分方程，需要進(jìn)行n次積分，每次積分都需要加入一項(xiàng)任意常數(shù)）。例如在復(fù)利定律里，微分方程dy/dt=ky是一階導(dǎo)數(shù)，完整解y = ce^(kt) 正好有一個(gè)任意常數(shù)。特解是用特定數(shù)字帶入通解來(lái)獲得的。

這是微分方程，就是y是x的函數(shù)，y的倒數(shù)是與y和X都相關(guān)的。 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如 的方程是微分方程。 一般的凡是表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，叫做微分方程。 未知函數(shù)是一元函數(shù)的，叫常微分方程；未知函數(shù)是多元

第二部分：解一階微分方程

微分方程指描述未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程。 微分方程的解是一個(gè)符合方程的函數(shù)。 比如： y'=x 就是一個(gè)微分方程 解法: dy/dx=x dy=xdx dy=1/2 dx^2 則 y=1/2 x^2+C

一個(gè)一階一級(jí)的微分方程可以表達(dá)為M dx + N dy = 0，M和N分別是x和y的函數(shù)。為了解決這個(gè)微分方程，按如下步驟來(lái)做:

1、無(wú)阻尼的簡(jiǎn)諧自由運(yùn)動(dòng)的微分方程： mx''+kx=0 (1) 2、初始條件: x(0)=x0 x'(0)=x'0 (2) (1)的特征方程：ms^2+k=0 (3) 解出： s1=(k/m)^0.5 s2=-(k/m)^0.5 (4) 3、(1)的通x(t)=C1e^(s1t)+C2e^(s2t) （5） 根據(jù)（2）-> C1+C2=x0 C1s1+C2s2=x'0

第1步：看看這個(gè)變量是否可分離。

通解是指滿足這種形式的函數(shù)都是微分方程的解，例如y'=0的通解就是y=C，C是常數(shù)。通解是一個(gè)函數(shù)族 特解顧名思義就是一個(gè)特殊的解，它是一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)是微分方程的解，但是微分方程可能還有別的解。如y=0就是上面微分方程的特解。 特解在解

一個(gè)微分方程若可以表達(dá)為f(x)dx + g(y)dy = 0，則其變量可分離。f(x)是只關(guān)于x的函數(shù)，g(y)是只關(guān)于y的函數(shù)。這些都是最容易解的微分方程。他們可以積分為∫f(x)dx +∫g(y)dy = c，c是一個(gè)任意常數(shù)。下面是一個(gè)通用的方法，參見圖2為例。

1.可以解析求解的微分方程。 dsolve() 調(diào)用格式為： y=dsolve(f1,f2,,fmO; y=dsolve(f1,f2,,fm,'x'); 如下面的例子,求解了微分方程 syms t; u=exp(-5*t)*cos(2*t-1)+5; uu=5*diff(u,t,2)+4*diff(u,t)+2*u; syms t y; y=dsolve(['D4y+10*D3

去掉分式部分。如果等式含有微分，用獨(dú)立變量的微分相乘。

這種形式，你得看方程的具體形式 因?yàn)榉匠讨屑扔衳又有y 你如果設(shè)y'=p，則方程中出現(xiàn)了x，y，p三個(gè)量，顯然不能這樣設(shè)。 故這種方程沒有統(tǒng)一的方程，得具體方程具體分析。 而對(duì)于非齊次線性方程，如y''+y=x這種的，書上就有方法了。

把所有具有相同微分的項(xiàng)集合成一項(xiàng)

通解中含有任意常數(shù),而特解是指含有特定常數(shù)。 比如y=4x^2就是xy'=8x^2的特解，但是y=4x^2+C就是xy'=8x^2的通解，其中C為任意常數(shù)。 拓展資料： 微分方程指含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。解微分方程就是找出未知函數(shù)。 求通解在歷史上曾作為微

分別積分不同微分的部分。

∵齊次方程y''-5y'+6y=0的特征方程是r²-5r+6=0，則r1=2，r2=3 ∴齊次方程y''-5y'+6y=0的通解是y=C1e^(2x)+C2e^(3x) (C1,C2是積分常數(shù)) ∵設(shè)原方程的解為y=(Ax²+Bx)e^(2x) 代入原方程 ==>A=-1/2,B=-1 ∴原方程的一個(gè)解是y=-(x²/2+x)e^

簡(jiǎn)化表達(dá)式?？梢酝ㄟ^(guò)合并同類項(xiàng)，把對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)，用最簡(jiǎn)單的符號(hào)來(lái)表達(dá)任意常數(shù)，以下為例

已知微分方程的通解怎么求這個(gè)微分方程 求導(dǎo)！如：1。x^2-xy+y^2=c 等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)：2x-y-x(dy/dx)+2y(dy/dx)=0 故dy/dx=(2x-y)/(x-2y)；或?qū)懗?2x-y-(x-2y)y′=0 若要求二階微分方程則需再求導(dǎo)一次： 2-y′-(1-2y′)y′+(x-2y)y〃=0 2。e^(-ay

第2步：如果變量是不可分離的，檢查該微分方程是否是齊次的。

一階微分方程 如果式子可以導(dǎo)成y'+P(x)y=Q(x)的形式，利用公式y(tǒng)=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)求解 若式子可變形為y'=f(y/x)的形式，設(shè)y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x求解 若式子可整理為dy/f(y)=dx/g(x)的形式，用分離系數(shù)法，兩邊積分求

如果把x和y替換為λx和λy，會(huì)導(dǎo)致整個(gè)函數(shù)的值為原函數(shù)乘以λ的n次方，那么λ的次數(shù)n就是原函數(shù)的次數(shù)。這樣微分方程M dx + N dy = 0就是均勻的。如果出現(xiàn)這種情況，請(qǐng)用以下步驟來(lái)解。圖3是一個(gè)示例。

(1)兩邊對(duì)x求導(dǎo),得 y'=y'+xy''+y''+2y'y'' 可以發(fā)現(xiàn)方程化成了y''=f(x,y')的形式 y''(x+1+2y')=0 當(dāng)x+1+2y'=0時(shí),解得y=-1/4*(x+1)²+C 當(dāng)y''=0時(shí),解得y=C1x+C2.但 y'=C1,代入原方程中得C1x+C2=C1x+C1+C1²,∴C2=C1+C1² ∴解為y=Cx+C+

讓 y=vx， 得出dy/dx = x(dv/dx) + v.

從 M dx + N dy = 0可得到dy/dx = -M/N = f(v)。因?yàn)?y 是v的函數(shù)。

得出 f(v) = dy/dx = x(dv/dx) + v 。 現(xiàn)在變量x 和 v 可以分離了： dx/x = dv/(f(v)-v))

用可分離的變量解新得出的微分方程，然后用y替代vx 得出y

第3步：如果不能用以上方法得出結(jié)果，試試可不可以用dy/dx + Py = Q形式的線性方程解出來(lái)（P Q 都是只關(guān)于x的方程或常數(shù)）。

記住這里x、y可以交替使用。圖4為例：

設(shè) y=uv，u 和 v 是x的函數(shù)。

兩邊微分，得到 dy/dx = u(dv/dx) + v(du/dx)

代入dy/dx + Py = Q 得到 u(dv/dx) + v(du/dx) + Puv = Q，或 u(dv/dx) + (du/dx + Pu)v = Q

通過(guò)積分可以分離變量的等式du/dx + Pu = 0得到u。然后用u的值，通過(guò)u(dv/dx) = Q得出 v ，這里的變量仍然可以分離

最后用y=uv 得出y

第4步：解伯努利方程： dy/dx + p(x) y = q(x) yn

。

通過(guò)以下方法來(lái)解：

設(shè) u = y1-n，這樣 du/dx = (1-n) y-n (dy/dx).

因此得出 y = u1/(1-n)、 dy/dx = (du/dx) yn / (1-n)和 yn = un/(1-n)

代入Bernoulli Equation， 同乘(1-n) / u1/(1-n)得出 du/dx + (1-n) p(x) u = (1-n) q(x)

注意這只是關(guān)于u的一階線性方程，可以用上述方法來(lái)解（步驟3）。解出之后代入y = u1/(1-n) 得到完整解。

第三部分：解二階微分方程

第1步：看看微分方程是否符合圖5的等式（1），f(y)是只關(guān)于y的函數(shù)，或者是一個(gè)常數(shù)。

如果是，就只要用圖5標(biāo)出的方法來(lái)做就好。

第2步：用常系數(shù)求解二階線性微分方程：看看這個(gè)微分方程滿足不滿足圖6中的等式(1)。

如果滿足，這個(gè)微分方程可以簡(jiǎn)單用下列步驟當(dāng)作一個(gè)二次方程來(lái)解。

第3步：要解個(gè)一般的二階線性微分方程，要看看該微分方程是否滿足圖7所示的方程(1)。

如果是這樣，可以用下列的步驟解決微分方程。以圖7的步驟為例。

把圖6方程(1)（f(x)=0）以上面說(shuō)過(guò)的方法解出來(lái)。 解出來(lái)是y = u的形式，u是圖7方程 (1) 的余函數(shù)。

按以下步驟代入試出一個(gè)圖7方程(1)的特解y = v。

若 f(x) 不是方程(1)的特解，則：

若 f(x) 形式為f(x) = a + bx，則假設(shè)y = v = A + Bx;

若 f(x) 形式為f(x) = aebx，則假設(shè)y = v = Aebx;

若 f(x) 形式為f(x) = a1 cos bx + a2 sin bx，則假設(shè)y = v = A1 cos bx + A2 sin bx.

若 f(x)是(1)的特解則按以上形式各種情況再乘一個(gè)x

方程 (1)的完整解則是通過(guò) y = u + v得出

第四部分：解高次微分方程

高階微分方程更難解，除了以下某些特殊情況:

第1步：看看該微分方程是否滿足圖5中方程(1)形式，f(x)是一個(gè)只關(guān)于x的函數(shù)或一個(gè)常數(shù)。

如果是，則按照?qǐng)D8步驟解。

第2步：看看該微分方程滿足不滿足圖9方程(1)的形式。

如果是，可如下解決微分方程:

第3步：要解更一般的“n”階線性微分方程，要看看該微分方程是否滿足圖10方程(1)形式。

如果是這樣，此微分方程和二階線性微分方程解決方法類似。如下所示求解:

現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用

復(fù)利法:利息率的增加是和初始金額成正比的。更一般地說(shuō)，一個(gè)獨(dú)立變量的利率變化是和對(duì)應(yīng)值的函數(shù)成正比的。也就是說(shuō),如果y = f(t)，則dy / dt =ky。可以用可分離變量解這個(gè)函數(shù)，會(huì)得到y(tǒng) = ce ^(kt)，y是一筆金額的的累積復(fù)利，c是任意常數(shù)，k是利率，例如，美元方面的利率是一年一美元，t是時(shí)間。這里看來(lái)，時(shí)間就是金錢。

注意，復(fù)利法適用于日常生活的許多方面。比如，假設(shè)你正用往鹽溶液里倒水來(lái)淡化鹽濃度，需要添加多少水？水流速度是怎樣影響濃度變化的？ 設(shè)s=一定時(shí)間鹽溶液中的鹽量，x =已流過(guò)的水量，v =溶液體積。鹽濃度=s/v。現(xiàn)在假設(shè)Δx體積的水溢出了，這樣鹽的流失量是(s / v)Δx，因此改變鹽的攝入量Δs可以由Δs = -(s / v)Δx得出。兩邊同除以Δx，得Δs /Δx = -(s / v)。取極限Δx——> 0，然后就有ds / dx = - s / v。這是一種復(fù)利定律形式的微分方程。其中y是現(xiàn)在的s，t是現(xiàn)在的x，k現(xiàn)在是1/v。

牛頓冷卻定律是另一種復(fù)利定律的變體。它表示在低溫環(huán)境中，體溫降低，和身體溫度與周圍空氣的溫度差是成正比的。設(shè)x =身體的過(guò)高溫度，t =時(shí)間，得出dx / dt =kx。k是一個(gè)常數(shù)。解得x = ce ^(kt)，c如上，是一個(gè)任意常數(shù)。假設(shè)過(guò)高溫度x最初在80華氏度（26攝氏度），一分鐘后降到70華氏度（21度），2分鐘后是什么情況? 讓t =時(shí)間（分鐘為單位），x =過(guò)高的溫度。得到80= ce ^(k * 0)= c。同時(shí)，70 = ce ^(k * 1)= 80 e ^ k，這樣k = ln(7/8)。所以x = 70 e ^(ln(7/8)t)是這個(gè)函數(shù)的一個(gè)特解?，F(xiàn)在設(shè)t = 2，得x = 70 e ^(ln(7/8)* 2)= 53.59華氏度。

在大氣熱力學(xué)里，高于海平面的大氣壓力p的變化率，和海拔高度h成比例。這是另一種復(fù)利定律的變式。這里的微分方程是dp / dh = kh，k是常數(shù)。

化學(xué)中化學(xué)反應(yīng)的速率，是在時(shí)間t內(nèi)反應(yīng)量x關(guān)于t的變化率。讓a=開始反應(yīng)時(shí)的濃度，那么就有dx / dt = k(a - x)，k是速率常數(shù)。這是另一種復(fù)利定律變體。(a - x)現(xiàn)在是因變量?？梢园l(fā)現(xiàn)d(a - x)/ dt = - k(a - x)，所以d(a - x)/(a - x)= -kdt。積分，得到ln(a - x)= kt+a。因?yàn)閠 = 0時(shí)a - x =a。整理一下等式，會(huì)得到速率常數(shù)k =(1 / t)ln(/(a - x))。

在電磁學(xué)中，給定一個(gè)電路，電壓是V，當(dāng)前電流是i(安培)。電壓V克服電路中的電阻R(歐姆)和電路的電感L時(shí)會(huì)產(chǎn)生消耗。L由方程V =iR+ L(di / dt)或di / dt =(V - iR)/ L決定。這是另一種復(fù)利定律的變式，V - iR現(xiàn)在是因變量。

聲學(xué)上，簡(jiǎn)單的諧波振動(dòng)具有和負(fù)距離成正比的加速度?；叵胍幌?，加速度是距離的二階導(dǎo)數(shù)，所以d2s / dt2 + k2s = 0， s =距離，t =時(shí)間，和k2的是在單位距離的加速度大小。這是一個(gè)簡(jiǎn)單的諧波方程，也是一個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程，和圖6中解的方程(9)和(10)類似。得出的解是s = c1cos kt + c2sin kt。 這個(gè)方程可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。設(shè)c1 = b sin A，c2 = b cos A 。代入得到b sin A cos kt + b cos A sin kt?；叵胍幌氯呛瘮?shù)中，sin(x + y)=sin x cos y + cos x sin y，所以表達(dá)式可以簡(jiǎn)化為s = b sin (kt + A)。波形遵循簡(jiǎn)單的諧波方程，以2π/ k為周期在- b和b之間擺動(dòng)。

彈簧振動(dòng)：把一個(gè)質(zhì)量m的物體放在振動(dòng)的彈簧上。根據(jù)胡克定律，當(dāng)彈簧從自然長(zhǎng)度（或在平衡位置）拉伸或壓縮s單位時(shí)，產(chǎn)生的回復(fù)力F與s成正比，或F = -k2s。由牛頓第二定律（力等于質(zhì)量乘以加速度），得到 m d2s / dt2 = -k2s 或 m d2s / dt2 + k2s = 0。這是一個(gè)簡(jiǎn)單諧波方程的表達(dá)式。

阻尼振動(dòng)：如上述情況，考慮一個(gè)帶阻尼力的振動(dòng)彈簧。阻尼力，如摩擦力，是任何能減少振蕩器振蕩幅度的效應(yīng)力。例如，根據(jù)阻尼力原理可以制造汽車減震器。在大多數(shù)情況下，阻尼力Fd,大概和對(duì)象速度成正比，或Fd = c2 ds / dt，c2是一個(gè)常數(shù)。結(jié)合阻尼力和恢復(fù)力的公式，我們由牛頓第二定律得到-k2s - c2 ds / dt = m d2s / dt2 ，或者 m d2s / dt2 + c2 ds / dt + k2s = 0。這個(gè)微分方程是一個(gè)二階線性方程，可以通過(guò)s= e ^(rt)解出輔助方程mr2 + c2r + k2 = 0 來(lái)解。用二次公式解這個(gè)方程，得到r1 =(c2 + sqrt(c4 - 4 mk2))/ 2 m，r2 =(c2 - sqrt(c4 - 4 mk2))/ 2m。

過(guò)阻尼情況：如果c4 - 4 mk2 > 0，r1和r2是相異的實(shí)數(shù)?？梢杂胹 = c1e ^(r1t)+ c2e ^(r2t)來(lái)解。因c2、m、k2都是正數(shù)，sqrt(c4 - 4 mk2)必須小于c2，這意味著兩根r1和r2是負(fù)數(shù)，函數(shù)是指數(shù)衰減形式。在這種情況下彈簧振動(dòng)不會(huì)發(fā)生。阻尼力強(qiáng)的材料可以用來(lái)制造高粘油或潤(rùn)滑脂。

臨界阻尼情況：如果c4 - 4 mk2 = 0，r1 = r2 = c2 / 2m，得出的解是s =(c1 + c2t)e ^((-c2/2m)t)。這仍然是指數(shù)衰減，彈簧不會(huì)振動(dòng)。然而假使阻尼力稍微下降一點(diǎn)，將導(dǎo)致物體振動(dòng)經(jīng)過(guò)平衡點(diǎn)。

欠阻尼情況：若c4 - 4 mk2 < 0，得到復(fù)數(shù)根，即- c /2m + / -ωi，ω= sqrt(4 mk2 - c4))/ 2m。得出解是s = e ^(-(c2/2m)t)(c1 cos ωt + c2 sin ωt)。這是一個(gè)受e ^(-(c2/2m)t阻尼因子影響的振蕩情況。因?yàn)閏2和m都是正數(shù)，因此t趨向于無(wú)窮大時(shí)e ^(-(c2/2m)t)趨向0。所以最終運(yùn)動(dòng)將衰變?yōu)榱恪?p class="wyds0" >小提示

注意：微分的反面是積分，積分用來(lái)計(jì)算不斷變化的量的累積總和。例如通過(guò)已知的一定時(shí)間內(nèi)的距離的損失變化率（速率）計(jì)算距離(根據(jù)d = rt)。

把解回代入原始微分方程，看看是否滿足。這樣可以確保你解對(duì)了方程。

很多微分方程難以用上述方法來(lái)解。但上述方法已經(jīng)足以對(duì)付常見的微分方程了。

警告

和可以求導(dǎo)的那些方程不同，很多微分方程表達(dá)式是不能求積分的。所以不要浪費(fèi)時(shí)間求不能求積的函數(shù)的積分式。要記得查查積分表來(lái)確認(rèn)可否求導(dǎo)。微分方程只在化簡(jiǎn)成含有積分形式的表達(dá)式時(shí)可以求解，無(wú)論積分形式實(shí)際上成立與否。

你需要準(zhǔn)備

紙張

水筆或鉛筆

一張積分表可能會(huì)幫你點(diǎn)忙

參考

http://math.uww.edu/~mcfarlat/250de2.htm

http://www.physics.ohio-state.edu/~physedu/mapletutorial/tutorials/diff_eqs/intro.html

http://www.sosmath.com/tables/diffeq/diffeq.html

擴(kuò)展閱讀，以下內(nèi)容您可能還感興趣。

求解微分方程

這種形式，你得看方程的具體形式

因?yàn)榉匠讨屑扔衳又有y

你如果設(shè)y'=p，則方程中出現(xiàn)了x，y，p三個(gè)量，顯然不能這樣設(shè)。

故這種方程沒有統(tǒng)一的方程，得具體方程具體分析。

而對(duì)于非齊次線性方程，如y''+y=x這種的，書上就有方法了。

這個(gè)微分方程怎么求通解

將特解代入微分方程得

(7/3)(x+1)^(5/2) + (2/3)(x+1)^(7/2) p(x) = (x+1)^(5/2)

得 p(x) = -2/(x+1), 微分方程是 y' - 2y/(x+1) = (x+1)^(5/2)

通解 y = e^[2dx/(x+1)] {∫(x+1)^(5/2)e^[-2dx/(x+1)]dx + C}

= (x+1)^2 [∫(x+1)^(1/2)dx + C] = (x+1)^2 [(2/3)(x+1)^(3/2) + C]

= C(x+1)^2 + (2/3)(x+1)^(7/2) , 選 D。追問(wèn)好像就是這樣，這題我一直看的y的x次冪 冪指函數(shù)。。。本回答被提問(wèn)者采納

微分方程的特解代入原式怎么求

解答

微分方程y''-3y'+2y=xex對(duì)應(yīng)的齊次微分方程為y''-3y'+2y=0

特征方程為t2-3t+2=0

解得t1=1，t2=2

故齊次微分方程對(duì)應(yīng)的通解y＝C1ex+C2e2x

因此，微分方程y''-3y'+2y=xex對(duì)應(yīng)的非齊次微分方程的特解可設(shè)為y*=x（ax+b）ex=（ax2+bx）ex

y*'=[ax2+（2a+b）x+b]ex

y*''=[ax2+（4a+b）x+（2a+2b）]ex

將y*，y*'，y*''代入微分方程y''-3y'+2y=xex消去ex即可得到：

[ax2+（4a+b）x+（2a+2b）]-3[ax2+（2a+b）x+b]+2（ax2+bx）=x

-2ax+2a-b=x

−2a＝1

2a+b＝0

a＝−

1

2

b＝1

所以，非齊次微分方程的特解為y*＝(−

1

2

x2+x)ex

由于非齊次微分方程的通解=齊次微分方程的通解+非齊次微分方程的特解

所以，微分方程y''-3y'+2y=xex的通解為y+y*＝(−

1

2

x2+x+C1)ex+C2e2x．更多追問(wèn)追答追問(wèn)-2a＝1，2a＋b＝0 這兩個(gè)式子是怎么得來(lái)的啊追答采納一下嗎追問(wèn)嗯嗯采納能幫我解答一下嘛

怎樣理解微分方程F（x，y，y'）=0

這是微分方程，就是y是x的函數(shù)，y的倒數(shù)是與y和X都相關(guān)的。

含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如 

 的方程是微分方程。 一般的凡是表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，叫做微分方程。

未知函數(shù)是一元函數(shù)的，叫常微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的叫做偏微分方程。微分方程有時(shí)也簡(jiǎn)稱方程。

擴(kuò)展資料：

偏微分方程的階數(shù)定義類似常微分方程，但更細(xì)分為橢圓型、雙曲線型及拋物線型的偏微分方程，尤其在二階偏微分方程中上述的分類更是重要。有些偏微分方程在整個(gè)自變量的值域中無(wú)法歸類在上述任何一種型式中。

微分方程的約束條件是指其解需符合的條件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的約束條件。

常微分方程常見的約束條件是函數(shù)在特定點(diǎn)的值，若是高階的微分方程，會(huì)加上其各階導(dǎo)數(shù)的值，有這類約束條件的常微分方程稱為初值問(wèn)題。

若是二階的常微分方程，也可能會(huì)指定函數(shù)在二個(gè)特定點(diǎn)的值，此時(shí)的問(wèn)題即為邊界值問(wèn)題。若邊界條件指定二點(diǎn)數(shù)值，稱為狄利克雷邊界條件（第一類邊值條件），此外也有指定二個(gè)特定點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)的邊界條件。

什么是解微分方程？

微分方程指描述未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程。

微分方程的解是一個(gè)符合方程的函數(shù)。

比如：

y'=x 就是一個(gè)微分方程

解法:

dy/dx=x

dy=xdx

dy=1/2 dx^2

則 y=1/2 x^2+C

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