關(guān)于因式分解12種方法

因式分解常用的六種方法詳解多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于

因式分解的十二種方法

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.因式分解的方法多種多樣,現(xiàn)總結(jié)如下：

因式分解有以下12種方法 1、 提公因法 如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式,那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái),從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式. 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考題) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 應(yīng)用公式法 由于分解因式與整

方法

提公因法

如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式,那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái),從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式.

1、提公因式法 幾個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。 如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。 具體方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是

例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考題)

把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)因式分解（也叫作分解因式）。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具。 因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方

x -2x -x=x(x -2x-1)

⑴提公因式法 ①公因式：各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。 ②提公因式法：一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫(xiě)成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.。 am＋bm＋cm＝m

應(yīng)用公式法

由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系,如果把乘法公式反過(guò)來(lái),那么就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式.

因式分解常用的六種方法詳解多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考題)

因式分解最全方法歸納樂(lè)水散人整理于2015.09一、因式分解的概念與原則1、定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式，這種恒等變換叫做因式分解，也叫作分解因式。2、原則：（1）分解必須要徹底（即分解之后的因式均不能再做分解）；（2）

a +4ab+4b =（a+2b）

1、如果沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，把x提出來(lái)，就成2次多項(xiàng)式了 2、看能否用公式： X1·X2·X3=-d/a； X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a； X1+X2+X3=-b/a。 3、對(duì)于ax^3+bx^2+cx+d(對(duì)于x因式分解)，先求a,d的因數(shù)，比如p是a的因數(shù)，比如q是d的因數(shù)，把x=q/p帶入原式，如果

分組分解法

要把多項(xiàng)式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前兩項(xiàng)分成一組,并提出公因式a,把它后兩項(xiàng)分成一組,并提出公因式b,從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,從而得到(a+b)(m+n)

1、如果沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，把x提出來(lái)，就成2次多項(xiàng)式了 2、看能否用公式： X1·X2·X3=-d/a； X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a； X1+X2+X3=-b/a。 3、對(duì)于ax^3+bx^2+cx+d(對(duì)于x因式分解)，先求a,d的因數(shù)，比如p是a的因數(shù)，比如q是d的因數(shù)，把x=q/p帶入原式，如果

例3、分解因式m +5n-mn-5m

因式分解的十二種方法 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)總結(jié)如下： 1、 提公因法 如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因

m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

1.因式分解 即和差化積，其最后結(jié)果要分解到不能再分為止。而且可以肯定一個(gè)多項(xiàng)式要能分解因式，則結(jié)果唯一，因?yàn)椋簲?shù)域F上的次數(shù)大于零的多項(xiàng)式f(x),如果不計(jì)零次因式的差異，那么f(x)可以唯一的分解為以下形式： f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x

= (m -5m )+(-mn+5n)

因式分解公式： 平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b² 完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b² 把式子倒過(guò)來(lái)： (a+b)(a-b)=a²-b² a²±2ab+b²= (a±b)² 就變成了因式分解，因此，我們把用利用平方差公式和完全

=m(m-5)-n(m-5)

公式如下： 1.(a+b)(a-b)=a的平方減b的平方 2.（a+-b）的平方=a的平方加減2ab加b的平方 3.立方和立方差公式 概念與注意點(diǎn)： 1.把一個(gè)多想害死化為幾個(gè)整式積的形式叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫作分解因式。 2.提取的公因式應(yīng)該為各項(xiàng)系數(shù)的最

=(m-5)(m-n)

十字相乘法的具體方法:十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù),右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng),交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)系數(shù). 應(yīng)用十字相乘法解題的實(shí)例: 例1把m²+4m-

十字相乘法

對(duì)于mx +px+q形式的多項(xiàng)式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,則多項(xiàng)式可因式分解為(ax+d)(bx+c)

因式分解的方法 因式分解沒(méi)有普遍的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競(jìng)賽上，又有拆項(xiàng)和添項(xiàng)法，分組分解法和十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，輪換對(duì)稱法，剩余定理法等。 [編輯本段]基本方法 ⑴提公因式法 各項(xiàng)都

例4、分解因式7x -19x-6

因式分解沒(méi)有普遍適用的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法。而在競(jìng)賽上，又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)法，十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對(duì)稱多項(xiàng)式，輪換對(duì)稱多項(xiàng)式法，余式定理法，求根公式法，換元法，長(zhǎng)除法

分析：1 -3

因式分解的十二種方法 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)總結(jié)如下： 1、 提公因法 如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因

7 2

2-21=-19

題目只要求輸出自然數(shù)N的分解方案數(shù)，當(dāng)N大的時(shí)候分解方案數(shù)會(huì)相當(dāng)?shù)亩?，所以為了提高效率，可以不一一枚舉所有的分解方案而是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法計(jì)算。 計(jì)算方法如下 首先對(duì)自然數(shù)N做質(zhì)因數(shù)分解(分解成若干個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積) 設(shè)N的質(zhì)因數(shù)分解為N=p1^q1 *

7x -19x-6=（7x+2）(x-3)

題目只要求輸出自然數(shù)N的分解方案數(shù)，當(dāng)N大的時(shí)候分解方案數(shù)會(huì)相當(dāng)?shù)亩?，所以為了提高效率，可以不一一枚舉所有的分解方案而是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法計(jì)算。 計(jì)算方法如下 首先對(duì)自然數(shù)N做質(zhì)因數(shù)分解(分解成若干個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積) 設(shè)N的質(zhì)因數(shù)分解為N=p1^q1 *

配方法

對(duì)于那些不能利用公式法的多項(xiàng)式,有的可以利用將其配成一個(gè)完全平方式,然后再利用平方差公式,就能將其因式分解.

1提公因式法：如果多項(xiàng)式各項(xiàng)都有公共因式，則可先考慮把公因式提出來(lái)，進(jìn)行因式分解，注意要每項(xiàng)都必須有公因式。解析顯然每項(xiàng)均含有公因式5x故可考慮提取公因式5x，接下來(lái)剩下x2+2x+1仍可繼續(xù)分解。例15x3+10x2+5x解：原式=5x(x2+2x+1)=5x(x+1

例5、分解因式x +3x-40

多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式. 最大公因式的提取方法:系數(shù)取分子和分母系數(shù)的最大公約數(shù),字母取分子和分母共有的字母,指數(shù)取公共字母的最小指數(shù),即為它們的公因式.

解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

解一元二次方程，各種各樣的方式方法，結(jié)果都是一樣的； 如何選擇方法，采用哪種方式手段，也就看各人自己的習(xí)慣了； 當(dāng)然，也肯定要根據(jù)實(shí)際情況，選擇更合理更輕松的方法。 一元二次方程的解法，大概有三四種 直接開(kāi)平方法； 用于 x" = 4 或者

=(x+ ) -( )

根據(jù)題意，分析可得：0=（1-1）×（1+3）=0×4，5=（2-1）×（2+3）=1×5，12=（3-1）×（3+3）=2×6，…故其第n項(xiàng)是（n-1）×（n+3）．∴第100項(xiàng)是：99×103．故答案為：99×103．

=(x+ + )(x+ - )

1、直接開(kāi)平方法 直接開(kāi)平方法就是用直接開(kāi)平方求解一元二次方程的方法.用直接開(kāi)平方法解形如(x-m)²=n (n≥0)的 方程,其解為x=±√n+m 。 例：解方程(3x+1)²=7 ∵（3x+1)²=7 ∴3x+1=±√7 ∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3 ∴原方程的解為x1=﹙√7﹣1﹚/3

=(x+8)(x-5)

數(shù)學(xué)都是這樣的!!!你必須見(jiàn)識(shí)不同的題目!!!這樣才能給你提供思路!!!以前我有個(gè)朋友數(shù)學(xué)基本都是140以上!!!我問(wèn)過(guò)他!!!他說(shuō)的是!!多做 多記 多總結(jié)

拆、添項(xiàng)法

可以把多項(xiàng)式拆成若干部分,再用進(jìn)行因式分解.

十字相乘法的方法簡(jiǎn)單點(diǎn)來(lái)講就是：十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù),右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng),交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)系數(shù). 十字相乘法能把某些二次三項(xiàng)式分解因式.這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1,a2的積a1·a2,把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

(1)2ax-10ay+5by-bx =2a(x-5y)-b(x-5y) =(2a-b)(x-5y) (2)分解因式的問(wèn)題,就如x^2+7x+10=(x+2)(X+5)我的老師稱之為十字相乘

bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

換元法

有時(shí)在分解因式時(shí),可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù),然后進(jìn)行因式分解,最后再轉(zhuǎn)換回來(lái).

例7、分解因式2x -x -6x -x+2

2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

=x [2(x + )-(x+ )-6

令y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6

= x [2(y -2)-y-6]

= x (2y -y-10)

=x (y+2)(2y-5)

=x (x+ +2)(2x+ -5)

= (x +2x+1) (2x -5x+2)

=(x+1) (2x-1)(x-2)

求根法

令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,……x ,則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6

令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

通過(guò)綜合除法可知,f(x)=0根為 ,-3,-2,1

則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

圖象法

令y=f(x),做出函數(shù)y=f(x)的圖象,找到函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)x ,x ,x ,……x ,則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例9、因式分解x +2x -5x-6

令y= x +2x -5x-6

作出其圖象,見(jiàn)右圖,與x軸交點(diǎn)為-3,-1,2

則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10、 主元法

先選定一個(gè)字母為主元,然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列,再進(jìn)行因式分解.

例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

分析：此題可選定a為主元,將其按次數(shù)從高到低排列

a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)

=(b-c) [a -a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

利用特殊值法

將2或10代入x,求出數(shù)P,將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù),將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合,并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫(xiě)成2或10的和與差的形式,將2或10還原成x,即得因式分解式.

例11、分解因式x +9x +23x+15

令x=2,則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積,即105=3×5×7

注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1,而3、5、7分別為x+1,x+3,x+5,在x=2時(shí)的值

則x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

待定系數(shù)法

首先判斷出分解因式的形式,然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù),求出字母系數(shù),從而把多項(xiàng)式因式分解.

例12、分解因式x -x -5x -6x-4

分析：易知這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式,因而只能分解為兩個(gè)二次因式.

設(shè)x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

所以 解得

則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

擴(kuò)展閱讀，以下內(nèi)容您可能還感興趣。

3次方多項(xiàng)式有什么因式分解的方法，舉些例子

1、如果沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，把x提出來(lái)，就成2次多項(xiàng)式了

2、看能否用百公式：

X1·X2·X3=-d/a；

X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a；

X1+X2+X3=-b/a。

3、對(duì)于ax^3+bx^2+cx+d(對(duì)于x因式分解)，先求a,d的因數(shù)，比如p是a的因數(shù)，比如q是d的因數(shù)，把x=q/p帶入原式，度如果等于0的話，(x-q/p)就是它的一個(gè)因式。

擴(kuò)展資料

分解知一般步道驟

1、如果多項(xiàng)式的首項(xiàng)為負(fù)，應(yīng)先提取負(fù)號(hào)；

這里的“負(fù)”，指“負(fù)號(hào)”。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出負(fù)號(hào)，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)是專正的。

2、如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么先提取這個(gè)公因式，再進(jìn)一步分解因式；

要注意：多項(xiàng)式的某個(gè)整項(xiàng)是公因式時(shí)，先提出這個(gè)公因式后，括號(hào)內(nèi)切勿漏掉1；提公因式要一次性提干凈，并使每一個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式都不能再分解。

3、如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來(lái)分解；

4、如果用上述方法不能分解，再嘗試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)屬法來(lái)分解。

參考資料來(lái)源：百度百科-因式分解

因式分解的方法是什么

因式分解的十二種方法

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)總結(jié)如下：

1、 提公因法

如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式。

例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考題)

x -2x -x=x(x -2x-1)

2、 應(yīng)用公式法

由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系，如果把乘法公式反e69da5e6ba90e799bee5baa6e79fa5e9819331333264626531過(guò)來(lái)，那么就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考題)

解：a +4ab+4b =（a+2b）

3、 分組分解法

要把多項(xiàng)式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式a，把它后兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m +5n-mn-5m

解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

= (m -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、 十字相乘法

對(duì)于mx +px+q形式的多項(xiàng)式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項(xiàng)式可因式分解為(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x -19x-6

分析： 1 -3

7 2

2-21=-19

解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)

5、配方法

對(duì)于那些不能利用公式法的多項(xiàng)式，有的可以利用將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40

解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

=(x+ ) -( )

=(x+ + )(x+ - )

=(x+8)(x-5)

6、拆、添項(xiàng)法

可以把多項(xiàng)式拆成若干部分，再用進(jìn)行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

7、 換元法

有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來(lái)。

例7、分解因式2x -x -6x -x+2

解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

=x [2(x + )-(x+ )-6

令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6

= x [2(y -2)-y-6]

= x (2y -y-10)

=x (y+2)(2y-5)

=x (x+ +2)(2x+ -5)

= (x +2x+1) (2x -5x+2)

=(x+1) (2x-1)(x-2)

8、 求根法

令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,……x ,則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6

解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

通過(guò)綜合除法可知，f(x)=0根為 ，-3，-2，1

則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

9、 圖象法

令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)x ,x ,x ,……x ，則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例9、因式分解x +2x -5x-6

解：令y= x +2x -5x-6

作出其圖象，見(jiàn)右圖，與x軸交點(diǎn)為-3，-1，2

則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10、 主元法

先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。

例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

分析：此題可選定a為主元，將其按次數(shù)從高到低排列

解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)

=(b-c) [a -a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

11、 利用特殊值法

將2或10代入x，求出數(shù)P，將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫(xiě)成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。

例11、分解因式x +9x +23x+15

解：令x=2，則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3×5×7

注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時(shí)的值

則x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

12、待定系數(shù)法

首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。

例12、分解因式x -x -5x -6x-4

分析：易知這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個(gè)二次因式。

解：設(shè)x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

所以 解得

則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4）

參考資料：http://zhidao.baidu.com/question/4467572.html?an=0&si=4

因式分解配方和十字相乘法和待定系數(shù)法

1.因式分解

即和差化積，其最后結(jié)果要分解到不能再分為止。而且可以肯定一個(gè)多項(xiàng)式要能分解因式，則結(jié)果唯一，因?yàn)椋簲?shù)域F上的次數(shù)大于零的多項(xiàng)式f(x),如果不計(jì)零次因式的差異，那么f(x)可以唯一的分解為以下形式：

f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次項(xiàng)的系數(shù)，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可約多項(xiàng)式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。

（*）或叫做多項(xiàng)式f(x)的典型分解式。證明：可參見(jiàn)《高代》P52-53

初等數(shù)學(xué)中，把多項(xiàng)式的分解叫因式分解，其一般步驟為：一提二套三分組等

要求為：要分到不能再分為止。

2.方法介紹

2.1提公因式法：

如果多項(xiàng)式各項(xiàng)都有公共因式，則可先考慮把公因式提出來(lái)，進(jìn)行因式分解，注意要每項(xiàng)都必須有公因式。

例15x3+10x2+5x

解析顯然每項(xiàng)均含有公因式5x故可考慮提取公因式5x，接下來(lái)剩下x2+2x+1仍可繼續(xù)分解。

解：原式=5x(x2+2x+1)

=5x(x+1)2

2.2公式法

即多項(xiàng)式如果滿足特殊公式的結(jié)構(gòu)特征，即可采用套公式法，進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解，故對(duì)于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常出現(xiàn)的一些基本公式現(xiàn)整理歸納如下：

a2-b2=(a+b)(a-b)

a2±2ab+b2=(a±b)2

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2

a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=(a1+a2+…+an)2

a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)

an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)(n為奇數(shù))

說(shuō)明由因式定理，即對(duì)一元多項(xiàng)式f(x)，若f(b)=0，則一定含有一次因式x-b。可判斷當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)a=b,a=-b時(shí)，均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b，a-b因式。

例2分解因式：①64x6-y12②1+x+x2+…+x15

解析各小題均可套用公式

解①64x6-y12=（8x3-y6）(8x3+y6)

=(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4)

②1+x+x2+…+x15=

=(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)

注多項(xiàng)式分解時(shí)，先構(gòu)造公式再分解。

2.3分組分解法

當(dāng)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)較多時(shí)，可將多項(xiàng)式進(jìn)行合理分組，達(dá)到順利分解的目的。當(dāng)然可能要綜合其他分法，且分組方法也不一定唯一。

例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1

解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1)

=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)

=(m3+1)(m12+m6++1)

=(m3+1)[(m6+1)2-m6]

=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)

例2分解因式：x4+5x3+15x-9

解析可根據(jù)系數(shù)特征進(jìn)行分組

解原式=（x4-9）+5x3+15x

=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)

=(x2+3)(x2+5x-3)

2.4十字相乘法

對(duì)于形如ax2+bx+c結(jié)構(gòu)特征的二次三項(xiàng)式可以考慮用十字相乘法,

即x2+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c)當(dāng)x2項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，同樣也可用十字相乘進(jìn)行操作。

例3分解因式：①x2-x-6②6x2-x-12

解①1x2

1x-3

原式=（x+2）(x-3)

②2x-3

3x4

原式=（2x-3）(3x+4)

注：“ax4+bx2+c”型也可考慮此種方法。

2.5雙十字相乘法

在分解二次三項(xiàng)式時(shí)，十字相乘法是常用的基本方法，對(duì)于比較復(fù)雜的多項(xiàng)式，尤其是某些二次六項(xiàng)式，如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也可以運(yùn)用十字相乘法分解因式，其具體步驟為：

（1）用十字相乘法分解由前三次組成的二次三項(xiàng)式，得到一個(gè)十字相乘圖

（2）把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因式填在第二個(gè)十字的右邊且使這兩個(gè)因式在第二個(gè)十字中交叉之積的和等于原式中含y的一次項(xiàng)，同時(shí)還必須與第一個(gè)十字中左端的兩個(gè)因式交叉之積的和等于原式中含x的一次項(xiàng)

例5分解因式

①4x2-4xy-3y2-4x+10y-3②x2-3xy-10y2+x+9y-2

③ab+b2+a-b-2④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2

解①原式=（2x-3y+1）(2x+y-3)

2x-3y1

2xy-3

②原式=（x-5y+2）(x+2y-1)

x-5y2

x2y-1

③原式=(b+1)(a+b-2)

0ab1

ab-2

④原式=（2x-3y+z）(3x+y-2z)

2x-3yz

3x-y-2z

說(shuō)明：③式補(bǔ)上oa2,可用雙十字相乘法，當(dāng)然此題也可用分組分解法。

如（ab+a）+(b2-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2)

④式三個(gè)字母滿足二次六項(xiàng)式，把-2z2看作常數(shù)分解即可：

2.6拆法、添項(xiàng)法

對(duì)于一些多項(xiàng)式，如果不能直接因式分解時(shí)，可以將其中的某項(xiàng)拆成二項(xiàng)之差或之和。再應(yīng)用分組法，公式法等進(jìn)行分解因式，其中拆項(xiàng)、添項(xiàng)方法不是唯一，可解有許多不同途徑，對(duì)題目一定要具體分析，選擇簡(jiǎn)捷的分解方法。

例6分解因式：x3+3x2-4

解析法一：可將-4拆成-1，-3即（x3-1）+(3x2-3)

法二：添x4,再減x4,.即（x4+3x2-4）+(x3-x4)

法三：添4x,再減4x即，（x3+3x2-4x）+(4x-4)

法四：把3x2拆成4x2-x2,即（x3-x2）+(4x2-4)

法五：把x3拆為，4x2-3x3即(4x3-4)-(3x3-3x2)等

解（選擇法四）原式=x3-x2+4x2-4

=x2(x-1)+4(x-1)(x+1)

=(x-1)(x2+4x+4)

=(x-1)(x+2)2

2．7換元法

換元法就是引入新的字母變量，將原式中的字母變量換掉化簡(jiǎn)式子。運(yùn)用此

種方法對(duì)于某些特殊的多項(xiàng)式因式分解可以起到簡(jiǎn)化的效果。

例7分解因式：

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120

解析若將此展開(kāi)，將十分繁瑣，但我們注意到

(x+1)(x+4)=x2+5x+4

(x+2)(x+3)=x2+5x+6

故可用換元法分解此題

解原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120

令y=x2+5x+5則原式=(y-1)(y+1)-120

=y2-121

=(y+11)(y-11)

=(x2+5x+16)(x2+5x-6)

=(x+6)(x-1)(x2+5x+16)

注在此也可令x2+5x+4=y或x2+5x+6=y或x2+5x=y請(qǐng)認(rèn)真比較體會(huì)哪種換法更簡(jiǎn)單？

2．8待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是解決代數(shù)式恒等變形中的重要方法,如果能確定代數(shù)式變形后的字母框架,只是字母的系數(shù)高不能確定,則可先用未知數(shù)表示字母系數(shù),然后根據(jù)多項(xiàng)式的恒等性質(zhì)列出n個(gè)含有特殊確定系數(shù)的方程(組)，解出這個(gè)方程(組)求出待定系數(shù)。待定系數(shù)法應(yīng)用廣泛,在此只研究它的因式分解中的一些應(yīng)用。

例7分解因式：2a2+3ab-9b2+14a+3b+20

分析屬于二次六項(xiàng)式，也可考慮用雙十字相乘法，在此我們用待定系數(shù)法

先分解2a2+3ab+9b2=(2a-3b)(a+3b)

解設(shè)可設(shè)原式=(2a-3b+m)(a+3b+n)

=2a2+3ab-9b2+(m+2n)a+(3m-3n)b+mn……………

比較兩個(gè)多項(xiàng)式（即原式與*式）的系數(shù)

m+2n=14(1)m=4

3m-3n=-3(2)=>

mn=20(3)n=5

∴原式=（2x-3b+4）(a+3b+5)

注對(duì)于（*）式因?yàn)閷?duì)a,b取任何值等式都成立，也可用令特殊值法，求m,n

令a=1,b=0,m+2n=14m=4

=>

令a=0,b=1,m=n=-1n=5

2.9因式定理、綜合除法分解因式

對(duì)于整系數(shù)一元多項(xiàng)式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

由因式定理可先判斷它是否含有一次因式(x-)（其中p，q互質(zhì)），p為首項(xiàng)系數(shù)an的約數(shù)，q為末項(xiàng)系數(shù)a0的約數(shù)

若f（）=0,則一定會(huì)有（x-）再用綜合除法，將多項(xiàng)式分解

例8分解因式x3-4x2+6x-4

解這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，因?yàn)?的正約數(shù)為1、2、4

∴可能出現(xiàn)的因式為x±1,x±2,x±4,

∵f(1)≠0,f(1)≠0

但f(2)=0,故(x-2)是這個(gè)多項(xiàng)式的因式，再用綜合除法

21-46-4

2-44

1-220

所以原式=(x-2)(x2-2x+2)

當(dāng)然此題也可拆項(xiàng)分解，如x3-4x2+4x+2x-4

=x(x-2)2+(x-2)

=(x-2)(x2-2x+2)

分解因式的方法是多樣的，且其方法之間相互聯(lián)系，一道題很可能要同時(shí)運(yùn)e799bee5baa6e79fa5e98193e78988e69d8331333234333366用多種方法才可能完成，故在知曉這些方法之后，一定要注意各種方法靈活運(yùn)用，牢固掌握!

因式分解的公式

因式分解公式：7a64e58685e5aeb931333431353363

平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²

完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²

把式子倒過(guò)來(lái)：

(a+b)(a-b)=a²-b²

a²±2ab+b²= (a±b)²

就變成了因式分解，因此，我們把用利用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行因式分解的方法稱之為公式法。

例：

1、25-16x²=5²-(4x)²=(5+4x)(5-4x)

2、p4-1

=(p²+1)(p²-1)

=(p²+1)(p+1)(p-1)

3、x²+14x+49

=x²+2·7·x+7²

=(x+7)²

4、(m-2n)²-2(2n-m)(m+n)+(m+n)²

=(m-2n)²+2(m-2n)²(m+n)+(m+n)²

=[(m-2n)+(m+n)]²

=(2m-n)²

擴(kuò)展資料

注意點(diǎn)：

1、如果多項(xiàng)式的首項(xiàng)為負(fù)，應(yīng)先提取負(fù)號(hào)；

這里的“負(fù)”，指“負(fù)號(hào)”。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出負(fù)號(hào)，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)是正的。

2、如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么先提取這個(gè)公因式，再進(jìn)一步分解因式；

要注意：多項(xiàng)式的某個(gè)整項(xiàng)是公因式時(shí)，先提出這個(gè)公因式后，括號(hào)內(nèi)切勿漏掉1；提公因式要一次性提干凈，并使每一個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式都不能再分解。

3、如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來(lái)分解；

4、如果用上述方法不能分解，再嘗試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法來(lái)分解。

參考資料來(lái)源：百度百科-因式分解

因式分解

公式如下：

1.(a+b)(a-b)=a的平方減b的平方

2.（a+-b）的平方=a的平方加減2ab加b的平方

3.立方和立方差公式

概念與注意點(diǎn)：

1.把一個(gè)多想害死化為幾個(gè)整式積的形式叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫作分解因式。

2.提取的公因式應(yīng)該為各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)與各項(xiàng)都含有的字母的最低次冪的乘積

3.分?jǐn)?shù)系數(shù)：分母為最小公倍數(shù)，分子為最大公約數(shù)

4.不要忘了，在你分解的時(shí)候一定要仔細(xì)看好，要認(rèn)真，分解到底。

5.在你看到一些無(wú)規(guī)律的數(shù)字時(shí)，不要用公式，只要用十字相乘的方法就可以解決難題。

因式分解的小節(jié)

一提 二套 三分組

提取公因式

當(dāng)代數(shù)式為四項(xiàng)或以下時(shí)，有兩種方法：

第一種方法：2+2就是兩次提取公因式或者是先平方差再提取公因式

第二種方法：1+3完全平方公式再用平方差

當(dāng)代數(shù)式為五項(xiàng)或者六項(xiàng)時(shí)，用雙十字相乘。

用例題說(shuō)明（最經(jīng)典的例題）

1.判斷

1.x^2-4y^2=(x=2y)(x-2y)

2.2x(x-3y)=2x^2-6xy

3.（5a-1）^2=25a^2-10a+1

4.x^2+4x+4=(x+2)^2

5.(a-3)(a+3)=a^2-9

6.m^2-4=(m+4)(m-4)

7.2πr+2πr=2π（r+1）

答案：

因式分解=A，整式乘法=B

1A

2B

3B

4A

5B

6A

7A

這里要注意的是，因式分解是寫(xiě)成因式相乘的形式，而且是建立在整式的條件上的

至于其他的題目嘛，一言難盡，你可以寫(xiě)信到我郵箱里去wynhyq@126.com我可以回答你，我也是剛剛學(xué)過(guò)，有很多題目的，你要我可以給你，不過(guò)基本上我e799bee5baa6e79fa5e98193e78988e69d8331333262366331已經(jīng)概括出來(lái)了，你只要掌握以上所有內(nèi)容保證自己明白，就可以在基礎(chǔ)聯(lián)系上獲得成功，祝你好運(yùn)！

我覺(jué)得樓下是黏貼復(fù)制來(lái)的，一點(diǎn)也不真誠(chéng)耶~

參考資料：一切都是靠自己

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