從畢設(shè)中期答辯以后，本人開始著力于信號處理方面知識的學(xué)習(xí)，這里面的玄機確實說不清道不明，剪不斷理還亂。 在學(xué)習(xí)過程中，發(fā)現(xiàn)很多值得去探索和分析的地方，而且好多前輩都很無私的分享了。 愚目的很簡單：就是想把這階段所學(xué)的知識整理整理思路，希望能

從畢設(shè)中期答辯以后，本人開始著力于信號處理方面知識的學(xué)習(xí)，這里面的玄機確實說不清道不明，剪不斷理還亂。
在學(xué)習(xí)過程中，發(fā)現(xiàn)很多值得去探索和分析的地方，而且好多前輩都很無私的分享了。
愚目的很簡單：就是想把這階段所學(xué)的知識整理整理思路，希望能得到大神指點。
這階段學(xué)習(xí)的思路：（希望今后能把這些板塊都 補齊）
- 傅里葉變換和小波分析
- 小波分析的應(yīng)用
- EMD算法
- 圖像識別
- 軸承故障診斷方法研究
- 聲發(fā)射法AE
- 負(fù)壓波故障診斷
- 字典學(xué)習(xí)

傅里葉變換與小波分析

1.1傅里葉變換
先說說經(jīng)典的傅里葉變換和逆變換：

可以看出，F(xiàn)（W）實際上是對原信號f(t)做了頻譜分析。即f（t）是時間域的表達(dá)，F(xiàn)（w）是頻率域的表達(dá)。
這些都比較簡單，大家可以翻下書，再看看傅里葉變換的基本性質(zhì):
- 線性性質(zhì)

- 位移性質(zhì)

- 頻移性質(zhì)

- 卷積定理

- 對稱性

- 能量積分

大家別看這些公式望而生畏，確實就是傅里葉變換公式的推導(dǎo)，所以，不懂或者記不住都無所謂。問我之所以先將傅里葉變換的基本性質(zhì)擺出來，是讓大家能回憶起曾經(jīng)學(xué)過的最基本的知識。百度百度傅里葉的歷史，怎么來的，整個過程是怎么發(fā)展的。這些都能使得我們更好地理解小波的出現(xiàn)和發(fā)展的整個過程。

最后，貼一張圖說明傅里葉變換能做什么，很清楚，兩個時間域的混合信號在頻率域一下把特性反應(yīng)出來了，一目了然。提醒：接下來的小波變換的優(yōu)勢就是體現(xiàn)在它能反映出很多信號在時間域所不能觀察到的信息和特性。這些特性應(yīng)用范圍很廣，不用多說，大家一百度就知道了。

1.2短時傅里葉變換

上圖很明顯反映傅里葉變換的一個缺點：就是如果我想知道，第二列的圖是什么時候從高頻變到窄頻，此時它是做不到的。發(fā)現(xiàn)沒有，傳統(tǒng)的傅里葉變換有個問題：就是時間域的分析和頻率域的分析是完全分開的。也就是說，傅里葉變換只在頻域里有局部分析的能力，而在時間域不存在這種能力。有什么辦法能把時間域和頻率域聯(lián)系起來呢？有！

看，相比標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換，多加了一個‘時間窗函數(shù)’。
咱們可以這樣理解此公式的意義：S（w，t）大致反映了f（t）在時刻t、頻率為w的時候，信號成分的相對大小。所謂時間窗的意思，可以理解為我重點關(guān)注的對象是這個信號在我這個窗口下的特征，而其他部分我暫時忽視，那么意義就變成時間和頻率強行的聯(lián)系在了一起，我此刻得到的頻率那是時間窗在位置t時候的頻率。這對實際信號的研究很有幫助。（ps：窗函數(shù)可以有不同類型，性質(zhì)也不盡相同）

同樣，短時傅里葉變換也滿足上面的一些性質(zhì)的公式推導(dǎo)，在這就不多提了。（百度）
短時傅里葉變換雖然在一定程度上克服了標(biāo)準(zhǔn)傅里葉不具有的局部分析能力的缺陷，單它也存在著自身不可克服的缺陷，即當(dāng)窗函數(shù)確定后，窗口的類型和范圍也就確定了，即使你怎么移動，它都不會放大縮小。這是關(guān)鍵，也就是說，理應(yīng)我們觀察信號的時候，高頻信號（含的信息比較密），那我們應(yīng)該選擇窗口比較窄；低頻信號（含的信息比較密），那我們應(yīng)該選擇窗口比較寬。但短時傅里葉不能判斷這一點，窗口大小也不會跟著信號頻率調(diào)整。

1.3小波分析
Ok，終于引出小波分析來了。當(dāng)然，小波分析能解決上面那個問題。最近在看奇葩說，里面馬東一句話：低維度的生物永遠(yuǎn)理解不了高維度生物在干神馬。直線肯定理解不了平面，平面也理解不了空間。
最近知識學(xué)的越來越多，發(fā)現(xiàn)探索的理論也越來越深。其實，整體看下來，人類一直是在不斷的向著高維事物去探索，在處于低維思維試圖去理解和解釋高維，用低維的理論去類比高維，對，我說的是類比。這應(yīng)該是人類最聰明的學(xué)習(xí)能力。（廢話，強行裝一波逼。哈）
1.3.1小波發(fā)展的歷史和應(yīng)用
大致了解一下這些大牛，然后看下時間，你會發(fā)現(xiàn)小波大概也是80年代的產(chǎn)物。此時的產(chǎn)物還有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、SVM等等。這些思想都是把信號從高維轉(zhuǎn)到低維研究的。距離現(xiàn)在30年左右，懸念是這30年，又有哪些科學(xué)理論產(chǎn)物，又先進(jìn)在哪，這也是我想把這階段的學(xué)習(xí)寫下來的目的。

1.3.2從短時傅里葉變換到小波變換

簡單不！上面那個破公式就是前面說的短時傅里葉變換（STFT）,就是把那個窗函數(shù) 變成了 。唯一多了一個變量，也就是a，傻子都能想到，不就是解決了剛才說的那個窗口不能放大縮小的問題嘛！(下圖呵呵，小波函數(shù)，尺度參數(shù)a改變，左邊的大氣點，右邊的細(xì)致點，大氣要用在大氣的場合，細(xì)致的活才能用精細(xì)的工具干，（小波函數(shù)的類型也可以多種多樣，那個矩形框haar小波算是最簡單的一種）所以小波很大程度上在研究使用的場合問題)。因此，被被譽為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，它是調(diào)和分析發(fā)展史上里程碑式的進(jìn)展。
剛才說a變成了變量。所以將窗函數(shù)里的a提取出來和w作為一個整體的參數(shù)（w/a）豈不是就能通過控制尺度參數(shù)（w/a）來控制窗口尺寸。哈！完美！
好了。接下來真正開始定義小波變換，其實就把小波函數(shù)轉(zhuǎn)換一下形式。如下所示，紫色框內(nèi)這樣做是有物理含義的：想想以前高中學(xué)的變量t減去b就是時間向右偏移，a相當(dāng)于整體放大或者縮小（在上文已經(jīng)說明）。再在上面乘上個a-1/2保證做這樣變換之后還是一個即向量，可以理解為還是單位向量。

當(dāng)然還有小波變換的逆變換:

還有些小波基本的概念:
①互尺度譜

②小波能譜和互譜
(ps：知道有這個概念就行。)
順嘴，還是提下小波變換分辨率的問題，還是我一直在提的a，b參數(shù)影響小波窗函數(shù)，從而影響到小波在應(yīng)用時的條件選擇。大家要時刻記住這一點，之后介紹的多分辨小波跟這些參數(shù)就有很大的關(guān)系。

1.3.3小波的基本理論
為了更好更全面的理解小波還是要借助數(shù)學(xué)公式加上物理含義的理解。我將很細(xì)致地演示一下過程，希望對完整的理解小波變換有幫助。（整個過程由于公式較為編譯繁瑣，故在紙上做演示）
①能量守恒（兩個域之間轉(zhuǎn)換能量不變）

②范數(shù)守恒（即轉(zhuǎn)換到小波域長度沒發(fā)生變化）：這說明一個道理，任何基于向量基的變化其實就是看這個向量的角度發(fā)生了改變，其實質(zhì)的內(nèi)涵沒有變。（其實像哲學(xué)里的看問題的角度發(fā)生了變換，問題本身沒有變，但理解問題的角度多了，針對問題的解決方法豈不是更多了，任何問題的解決辦法只有最適合，沒有最難）

③逆變換

我們定義為dadb/a2為測度。再來借小波變換的逆變換加深一下對小波在實際過程中去噪的功能：
很簡單說明，實際過程中可以把信號先轉(zhuǎn)化到 小波域；get到了嗎?因為是實際情況，它肯定有誤差，如果我們知道誤差的分布，那么，哈哈，就可以調(diào)節(jié)a，誤差越大的地方我把a調(diào)的越大，那么1/a2就使得該快成分很??；反之，越精確的地方我把a調(diào)的越小。

OK!其實基本的連續(xù)小波定理就這么些，已經(jīng)介紹完了。但是，在工程實際應(yīng)用的角度來說，這公式還使我的問題變得更復(fù)雜了（原來是時間域的一維信號，現(xiàn)在變成了a，b兩個參數(shù)的二維信號，似不傻）。再次用哲學(xué)的觀點來解釋，一維變到二維，包含的信息或者說事物的性質(zhì)很多是我們未知的需要探索的寶藏，新觀點也更多了，但同時問題也變得跟復(fù)雜了。人類聰明的地方在于，把問題弄復(fù)雜之后還能總結(jié)提煉，對問題做情況限制，再提煉到一維或者接近一維，是不是對問題的理解上到了一個新的高度。哈哈哈!牛逼!

所以，接下來的工作就是簡化，然后簡化后的小波再套入到性質(zhì)公式看又沒改變，性質(zhì)還能不能拿來用。

1.3.4二進(jìn)小波


右圖很明顯表達(dá)了二進(jìn)小波思想，還是更尺度a有關(guān)，w小的部分需要更細(xì)致采樣，所以尺度窗口窄；反之，尺度窗口越來越大。
看到?jīng)]，對尺度參數(shù)做些限制，對a抽樣，令參數(shù)a=2j，j屬于整數(shù)，而b仍取連續(xù)值。
然后就依照性質(zhì)啪啪啪推導(dǎo)，滿足性質(zhì)的二進(jìn)小波：

反正，就是重構(gòu)二進(jìn)小波，推導(dǎo)滿足該條件。呵呵，不理會它，我們只要能理解過程就行。講這個是為了引出下面要講的正交小波，思路還是一樣的。

1.3.5正交小波和多分辨分析
①正交小波
剛才二進(jìn)小波只把a離散了對吧，現(xiàn)在我想把b也離散化。這樣，我就實現(xiàn)了把原來二維降到了0維（離散化連一維都不算，是不是很厲害）。
a=2^-j;b=2^-j*k。

這樣多分辨分析的概念也就順其自然地說出來了：即如何找到這樣一個信號，它的二的整數(shù)倍的伸縮和二的整數(shù)倍的偏移構(gòu)成它的標(biāo)準(zhǔn)正交基。
逆變換如下：（很容易理解原函數(shù)可以重新用這組正交小波基表示出來）
http://ssvideo.chaoxing.com/playvideo.asp?id=225055&d=f61986be3590588afe0c673745b81e0a
可以買個淘寶賬號，看看哈工大老師冉啟文講的小波。講的太好了!校園網(wǎng)可能免費能看。

ɑj,k=Wf(a,b)= Wf(2^-j, 2^-j*k)
OK，整體的正交小波的大致了解很簡單，就已經(jīng)介紹完了。為了加深一下印象，舉一個例比較常見的正交小波，Haar小波。
Ex1. Haar小波

顯然, 的整數(shù)位移互相之間沒有重疊，所以 ，即它們是正交的。

解釋：對于多分辨率而言，尺度函數(shù)與小波函數(shù)共同構(gòu)造了信號的分解。這里尺度函數(shù)可以由低通濾波器構(gòu)造，而小波函數(shù)則由高通濾波器實現(xiàn)。這樣的濾波器組就構(gòu)成了分解的框架。而同時我們可以看到，低通濾波器的尺度函數(shù)可以作為下一級的小波函數(shù)和尺度函數(shù)的母函數(shù)。說明白些，其實尺度函數(shù)表征了信號的低頻特征，小波函數(shù)才是真正逼近高頻的基。利用尺度函數(shù)可以構(gòu)造出小波函數(shù)。

注：圖中的尺度函數(shù)就是
再看一個經(jīng)典的正交小波- Shannon小波（如何證明都不看了，自己百度都有，只想說明尺度函數(shù)和小波函數(shù)之間的關(guān)系：從頻域可以看到 和 各自及相互之間的整數(shù)移位都沒有重疊，因此它們是正交的。同時，因為也是二進(jìn)的，從上到下可以看出范圍增大了一倍。）另外，從圖為啥一下能看出來， 屬于低通濾波器， 屬于帶通濾波器。

②多分辨分析
有了前面的概念，正式開始介紹多分辨分析（MRA）

上圖，Vm其實就是尺度函數(shù)的集合，Wm為小波函數(shù)的集合。看圖一下子就懂了兩者的關(guān)系，V是一個圓，W是一個帶。哈哈，你把這個套入到剛才那個Shannon小波肯定滿足對吧。
注意：現(xiàn)在多分辨分析的思想就是，構(gòu)造這樣一個尺度參數(shù)Wm，不斷累加累加，就可以忽略掉那個小小的一塊VN可以完全表示信號。

那問題就來了!如何構(gòu)造尺度參數(shù)？


如何構(gòu)造尺度函數(shù)是小波變換理論研究中的重要方向，其實質(zhì)是雙尺度差分方程求解，常用涉及迭代過程。

另附Mallat算法（matlab版）

http://wenku.baidu.com/link?url=f2HOcGSdSNMDNAVH7AaJCkagvJbNmZ_AYLb-lD4vSdP6SEMvG-mRXan786SM4kInSgOXVoSSuHOjW_6BlMREmUxJuK54X1rb2b7wEKNwa4C

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