浮點數(shù)的表示范圍

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浮點數(shù)表示

一個浮點數(shù)（Floating Point Number）由三個基本成分構成：符號（Sign）、階碼（Exponent）和尾數(shù)（Mantissa）。通?？梢杂孟旅娴母袷絹肀硎靖↑c數(shù)：

其中S是符號位，P是階碼，M是尾數(shù)。

根據(jù)IEEE（美國電氣和電子工程師學會）754標準中的定義，單精度浮點數(shù)是32位（即4字節(jié)）的，雙精度浮點數(shù)是64位（即8字節(jié)）的。兩者的S、P、M所占的位數(shù)以及表示方法由下表可知：

其中S是符號位，只有0和1，分別表示正負

P是階碼，通常使用移碼表示（移碼和補碼只有符號位相反，其余都一樣。對于正數(shù)而言，原碼、反碼和補碼都一樣；對于負數(shù)而言，補碼就是其絕對值的原碼全部取反，然后加1）。階碼可以為正數(shù)，也可以為負數(shù)，為了處理負指數(shù)的情況，實際的指數(shù)值按要求需要加上一個偏差（Bias）值作為保存在指數(shù)域中的值，單精度數(shù)的偏差值為127，雙精度數(shù)的偏差值為1023。例如，單精度的實際指數(shù)值0在指數(shù)域中將保存為127，而保存在指數(shù)域中的64則表示實際的指數(shù)值-63，偏差的引入使得對于單精度數(shù)，實際可以表達的指數(shù)值的范圍就變成-127到128之間（包含兩端）。

M為尾數(shù)，其中單精度數(shù)為23位長，雙精度數(shù)為52位長。IEEE標準要求浮點數(shù)必須是規(guī)范的。這意味著尾數(shù)的小數(shù)點左側必須為1，因此在保存尾數(shù)的時候，可以省略小數(shù)點前面這個1，從而騰出一個二進制位來保存更多的尾數(shù)。這樣實際上用23位長的尾數(shù)域表達了24位的尾數(shù)。例如對于單精度數(shù)而言，二進制的1001.101（對應于十進制的9.625）可以表達為1.001101 × 23，所以實際保存在尾數(shù)域中的值為00110100000000000000000，即去掉小數(shù)點左側的1，并用0在右側補齊。
根據(jù)標準要求，無法精確保存的值必須向最接近的可保存的值進行舍入，即不足一半則舍，一半以上（包括一半）則進。不過對于二進制浮點數(shù)而言，還多一條規(guī)矩，就是當需要舍入的值剛好是一半時，不是簡單地進，而是在前后兩個等距接近的可保存的值中，取其中最后一位有效數(shù)字為零者。

據(jù)以上分析，IEEE 754標準中定義浮點數(shù)的表示范圍為：

浮點數(shù)的表示有一定的范圍，超出范圍時會產(chǎn)生溢出（Flow），一般稱大于絕對值最大的數(shù)據(jù)為上溢（Overflow），小于絕對值最小的數(shù)據(jù)為下溢（Underflow）。

浮點數(shù)的表示約定

　　單精度浮點數(shù)和雙精度浮點數(shù)都是用IEEE 754標準定義的，其中有一些特殊約定，例如：
　　1、當P=0，M=0時，表示0。
　　2、當P=255，M=0時，表示無窮大，用符號位來確定是正無窮大還是負無窮大。
　　3、當P=255，M≠0時，表示NaN（Not a Number，不是一個數(shù)）。
非規(guī)范浮點數(shù)

當兩個絕對值極小的浮點數(shù)相減后，其差值的指數(shù)可能超出允許范圍，最終只能近似為0。為了解決此類問題，IEEE標準中引入了非規(guī)范（Denormalized）浮點數(shù)，規(guī)定當浮點數(shù)的指數(shù)為允許的最小指數(shù)值時，尾數(shù)不必是規(guī)范化（Normalized）的。有了非規(guī)范浮點數(shù)，去掉了隱含的尾數(shù)位的制約，可以保存絕對值更小的浮點數(shù)。而且，由于不再受到隱含尾數(shù)域的制約，上述關于極小差值的問題也不存在了，因為所有可以保存的浮點數(shù)之間的差值同樣可以保存。
根據(jù)IEEE 754標準中的定義，規(guī)范和非規(guī)范浮點數(shù)的表示范圍可歸納為下表：

與IEEE 754相關的標準

本文的結論基于IEEE 754標準，另外一個標準是IEEE 854，這個標準是關于十進制浮點數(shù)的，但沒有規(guī)定具體格式，所以很少被采用。另外，從2000年開始，IEEE 754開始修訂，被稱為IEEE 754R，目的是融合IEEE 754和IEEE 854標準。該標準在浮點格式方面的修訂有：1、加入了16位和128位的二進制浮點數(shù)格式；2、加入了十進制浮點數(shù)格式，采用了IBM公司提出的格式。

總結：

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