主成分分析與因子分析及SPSS實現(xiàn)實例討論

方法

（一）問題提出
男子十項全能比賽包含100米跑、跳遠、跳高、撐桿跳、鉛球、鐵餅、標、400米跑、1500米跑、110米跨欄十個項目，總分為各個項目得分之和。為了分析十項全能主要考察哪些方面的能力，以便有針對性的進行訓練，研究者收集了134個頂級運動員的十項全能成績單，將通過因子分析來達到分析目的。

（二）分析過程
變量視圖：

數(shù)據(jù)視圖（部分）：

菜單選擇（分析->降維->因子分析）：

打開因子分析的主界面，將十項成績選入”變量“框中（不要包含總分），如下：

點擊”描述“按鈕，打開對話框，選中”系數(shù)“和”KMO和Bartlett球形度檢驗“，如圖。

下圖相關解釋：
”系數(shù)“：為變量之間的相關系數(shù)陣列，可以直觀的分析相關性。
”KMO和Bartlett球形度檢驗“：用于定量的檢驗變量之間是否具有相關性。

點擊”繼續(xù)“，回到主界面，點擊”抽取“，打開對話框。”方法“ =>”主成分“，”輸出“=>”未旋轉的因子解“和”碎石圖“，”抽取“=>”基于特征值“，其余選擇默認。

解釋：

輸出的主要表格如下：
（1）相關性檢驗
因子分析要求變量之間有相關性，所以首先要進行相關性檢驗。首先輸出的是變量之間的相關系數(shù)矩陣：

可以直觀的看到，變量之間有相關性。但需要檢驗，接著輸出的是相關性檢驗，如圖。圖中有兩個指標：第一個是KMO值，一般大于0.7就說明不了之間有相關性了。第二個是Bartlett球形度檢驗，P值<0.001。綜合兩個指標，說明變量之間存在相關性，可以進行因子分析。否則，不能進行因子分析。

（2）提取主成分和公因子
接下來輸出主成分結果，如圖。這就是主成分分析的結果，表中第一列為10個成分；第二列為對應的”特征值“，表示所解釋的方差的大??；第三列為對應的成分所包含的方差占總方差的百分比；第四列為累計的百分比。一般來說，選擇”特征值“大于1的成分作為主成分，這也是SPSS默認的選擇。
在本例中，成分1和2的特征值大于1，他們合計能解釋71.034%的方差，還算不錯。所以我們可以提取1和2作為主成分，抓住了主要矛盾，其余成分包含的信息較少，故棄去。

下面，輸出碎石圖，如下圖。碎石圖來源于地質學的概念。在巖層斜坡下方往往有很多小的碎石，其地質學意義不大。碎石圖以特征值為縱軸，成分為橫軸。前面陡峭的部分特征值大，包含的信息多，后面平坦的部分特征值小，包含的信息也小。由圖直觀的看出，成分1和2包含了大部分信息，從3開始就進入平臺了。

接下來，輸出提取的成分矩陣。表中的數(shù)值為公因子與原始變量之間的相關系數(shù)，絕對值越大，說明關系越密切。公因子1和9個運動項目都正相關（注意跑步運動運動的計分方式，時間越短，分數(shù)越高），看來只能稱為“綜合運動”因子了。公因子2與鐵餅、鉛球正相關，與1500米跑、400米跑負相關，這究竟代表什么意思呢？看來只能成為“不知所云”因子了。

（三）因子旋轉
前面提取的兩個公因子一個是大而全的“綜合因子”，一個不知所云，得到這樣的結果，無疑是分析的失敗。不過，不要灰心，我們可以通過因子的旋轉來獲得更好的解釋。在主界面中點擊“旋轉”按鈕，打開對話框，“方法”=>“最大方差法”，“輸出”=>“旋轉解”。

點擊“繼續(xù)”，回到主界面點擊“確認”進行分析。輸出結果如下圖。這是選擇后的成分矩陣。經(jīng)過旋轉，可以看出：公因子1得分越高，所有的跑步和跨欄成績越差，而跳遠、撐桿跳等需要助跑類項目的成績也越差，所以公因子1代表的是奔跑能力的反向指標，可稱為“奔跑能力”。公因子2與鐵餅和鉛球的正相關性很高，與標、撐桿跳等需要上肢力量的項目也正相關，所以該因子可以成為“上肢力量”。經(jīng)過旋轉，可以看出公因子有了更合理的解釋。

（四）結果的保存
在最后，我們還要將公因子儲存下來供后續(xù)使用。點擊“得分”按鈕，打開對話框，選中“保存為變量”，方法采用默認的“回歸”方法，同時選中“顯示因子得分系數(shù)矩陣”。

SPSS會自動生成2個新變量，分別為公因子的取值，放在數(shù)據(jù)的最后。同時會輸出一個因子系數(shù)表格：

由上圖，我們可以寫出公因子的表達式（用F1、F2代表兩個公因子，Z1~Z10分別代表原始變量）：
F1 = -0.16*Z1+0.161*Z2+0.145*Z3+0.199*Z4-0.131*Z5-0.167*Z6+0.137*Z7+0.174*Z8+0.131*Z9-0.037*Z10
F2同理，略去。
注意，這里的變量Z1~Z10，F(xiàn)1、F2不再是原始變量，而是標準正態(tài)變換后的變量。

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